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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0063
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A. Rosenthal: Nichtexistenz von Kontinuen
(Euklidischen) Raumes untersucht werden. Daß allgemein für
r i> 2 n Mengen existieren, die ein Kontinuum und sogar ein
beliebig vorgeschriebenes Kontinuum von der Ordnung (r—n)
oder einer niedrigeren Ordnung* * 9) enthalten, ergibt sich mittels
genau derselben Schlußweise, durch die früher10 *) das Entspre-
chende bereits für n = 2 erledigt worden ist. Hier wird nun ge-
zeigt (Satz 1), daß im Rn für n<m'jE2n—1 kein SXR,- einen Jor-
danbogen (und damit überhaupt ein Kontinuum) von zz-ter Ord-
nung enthalten kann. Hieraus und aus einigen anderen allge-
meinen Sätzen ergibt sich für n = 3 bezw. n = 4, daß Teilkontinua
von ^z. unmöglich sind, wenn 3^r^5 bezw. 4<z’<W ist.
Zum Schluß werden zusammenfassend die Folgerungen für die
in höherdimensionalen Räumen (zz i> 5) erörtert.
1. Besitzt ein im Rn gelegenes ein Teilkontinuum C, so
ist in C 1]) ein Jordanbogen Js (von s-ter Ordnung mit n<js<H’)
enthalten. Um also zu zeigen, daß in einem kein Teilkonti-
nuum vorkommen kann, ist nachzuweisen, daß diesem SDc,• kein
Jordanbogen Js angehören kann.
2. Wir beginnen deshalb mit zwei auf Jordanbogen be-
schränkter Ordnung sich beziehenden Hilfssätzen.
Hilfssatz 1: Im Ru12) gibt es zu jedem Jordanbogen Js von
der beschränkten Ordnung s (s n) eine (n—1)-dimensionale
Ebene4}, die Jsin genau s—1 Punkten trifft, von denen einer ein
„Stützpunkt“, die übrigen „Schnittpunkte“ sind.
Beweis: Es gibt13) eine (zz—l)-dimensionale Ebene tj, die von
Js in genau s Punkten Ak (/€ = 1,2 ,..., s; entsprechend ihrer
Anordnung auf Js numeriert) „geschnitten“ wird, ohne daß einer
von ihnen mit einem Endpunkt zusammenfällt. Durch diese s
Punkte werden auf Js s—1 Bogen bk = (AfrA*+1) [k = l,2,...,s—1]
bestimmt, die abwechselnd ganz auf verschiedenen Seiten von
liegen. Ist s gerade, so gibt es eine ausgezeichnete, von uns als
positiv bezeichnete Seite von ■??, auf der s/2 dieser Bogen liegen.
°) Eine Menge 21 des Rn besitzt die Ordnung k, wenn 21 mit jeder
(zz—l)-dimensionalen Ebene4) höchstens k Punkte gemeinsam hat, und
wenn in mindestens einer solchen Ebene genau k Punkte von 21 liegen.
10) a. a. O. ’), S. 232.
u) Weil jedem Kontinuum endlicher Ordnung zu irgend zweien
seiner Punkte ein sie verbindender Jordanbogen angehört. Vgl. A. Mar-
chaud, Acta math. 55 (1930), S. 76; O. Haupt, J. f. Math. 167 (1931), S. 30;
A. Rosenthal, J. f. Math. 167 (1931), S. 272.
12) Hier und überall im folgenden soll zz j> 2 sein.
13) Nach A. Marchaud u), S. 79, Satz III C und B.
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A. Rosenthal: Nichtexistenz von Kontinuen
(Euklidischen) Raumes untersucht werden. Daß allgemein für
r i> 2 n Mengen existieren, die ein Kontinuum und sogar ein
beliebig vorgeschriebenes Kontinuum von der Ordnung (r—n)
oder einer niedrigeren Ordnung* * 9) enthalten, ergibt sich mittels
genau derselben Schlußweise, durch die früher10 *) das Entspre-
chende bereits für n = 2 erledigt worden ist. Hier wird nun ge-
zeigt (Satz 1), daß im Rn für n<m'jE2n—1 kein SXR,- einen Jor-
danbogen (und damit überhaupt ein Kontinuum) von zz-ter Ord-
nung enthalten kann. Hieraus und aus einigen anderen allge-
meinen Sätzen ergibt sich für n = 3 bezw. n = 4, daß Teilkontinua
von ^z. unmöglich sind, wenn 3^r^5 bezw. 4<z’<W ist.
Zum Schluß werden zusammenfassend die Folgerungen für die
in höherdimensionalen Räumen (zz i> 5) erörtert.
1. Besitzt ein im Rn gelegenes ein Teilkontinuum C, so
ist in C 1]) ein Jordanbogen Js (von s-ter Ordnung mit n<js<H’)
enthalten. Um also zu zeigen, daß in einem kein Teilkonti-
nuum vorkommen kann, ist nachzuweisen, daß diesem SDc,• kein
Jordanbogen Js angehören kann.
2. Wir beginnen deshalb mit zwei auf Jordanbogen be-
schränkter Ordnung sich beziehenden Hilfssätzen.
Hilfssatz 1: Im Ru12) gibt es zu jedem Jordanbogen Js von
der beschränkten Ordnung s (s n) eine (n—1)-dimensionale
Ebene4}, die Jsin genau s—1 Punkten trifft, von denen einer ein
„Stützpunkt“, die übrigen „Schnittpunkte“ sind.
Beweis: Es gibt13) eine (zz—l)-dimensionale Ebene tj, die von
Js in genau s Punkten Ak (/€ = 1,2 ,..., s; entsprechend ihrer
Anordnung auf Js numeriert) „geschnitten“ wird, ohne daß einer
von ihnen mit einem Endpunkt zusammenfällt. Durch diese s
Punkte werden auf Js s—1 Bogen bk = (AfrA*+1) [k = l,2,...,s—1]
bestimmt, die abwechselnd ganz auf verschiedenen Seiten von
liegen. Ist s gerade, so gibt es eine ausgezeichnete, von uns als
positiv bezeichnete Seite von ■??, auf der s/2 dieser Bogen liegen.
°) Eine Menge 21 des Rn besitzt die Ordnung k, wenn 21 mit jeder
(zz—l)-dimensionalen Ebene4) höchstens k Punkte gemeinsam hat, und
wenn in mindestens einer solchen Ebene genau k Punkte von 21 liegen.
10) a. a. O. ’), S. 232.
u) Weil jedem Kontinuum endlicher Ordnung zu irgend zweien
seiner Punkte ein sie verbindender Jordanbogen angehört. Vgl. A. Mar-
chaud, Acta math. 55 (1930), S. 76; O. Haupt, J. f. Math. 167 (1931), S. 30;
A. Rosenthal, J. f. Math. 167 (1931), S. 272.
12) Hier und überall im folgenden soll zz j> 2 sein.
13) Nach A. Marchaud u), S. 79, Satz III C und B.
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