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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0069
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A. Rosenthal
«) /ür 72 = 2, r = 2, 3 (wegen Satz 1 und Nr. 5);
1?) /zzr 72 = 3, r = 3, 4, 5 (wegen Satz 1, 2, 3);
y) für n = 4, 7’= 4, 5, 6, 7 (wegen Satz 1, 2, 3 und Nr. 5).
9. Wie bereits bemerkt, existieren im Rn für jedes rl>2n
Mengen SVÜ, die ein Kontinuum enthalten. Satz 1 und Nr. 5
zeigen, daß in keinem 5)X des Rn für n^r^2n—1 ein Jordan-
bogen 72-ter oder (72 -j- l)-ter Ordnung vorkommen kann. Man
könnte (wegen Nr. 1) daraus schließen, daß in denselben Fällen
(auch für 72 5 und für r 72 —|—2) überhaupt kein Teilkon-
tinuum enthalten kann, wenn man wüßte, daß im R„ jeder Jor-
danbogen Js von s-ter Ordnung (s > n) einen Teilbogen 72-ter
Ordnung besitzt. Für s = 72-j- 1 ist diese Aussage über Js, wie
bereits in Nr. 5 benutzt, von O. Haupt 2ö) bewiesen worden. Aber
für sj>72-|-2 ist in voller Allgemeinheit bisher nichts darüber
bekannt2G). Zwar hat O. Haupt * * 27) zeigen können, daß im Rn jeder
(bis auf eine nirgends dichte Menge von Stellen) 72-mal stetig
differenzierbare Jordanbogen s-ter Ordnung (s > 72) einen Teil-
bogen 72-ter Ordnung enthält. Aber diese Differenzierbarkeits-
voraussetzung bedeutet eine erhebliche, für unseren vorliegenden
Zweck nicht zu rechtfertigende Einschränkung. Übrigens läßt sich
sogleich sehen, daß 28) keine Menge des Rn für n <Lr<L2n—1
einen Jordanbogen Js enthalten kann, der bis auf eine nirgends
dichte Menge von Stellen überall eine eigentliche Tangente 1G) be-
sitzt. Denn in diesem Fall liefert Hilfsatz 1 für einen durchweg
mit eigentlicher Tangente versehenen Teilbogen von Js eine
(72—l)-dimensionale Ebene, die in nicht nur stützt, sondern
auch berührt. Deshalb kann man hier, ausgehend von Hilfsatz 1
statt von Hilfsatz 2, den Beweisgang des Satzes 1 entsprechend
für Js durchführen. — Schließlich sei bemerkt, daß sich — auch
ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen — noch eine Reihe von
weiteren (auf 72, r bezüglichen) EzAze/fällen durch eine passende
Verallgemeinerung des Hilfsatzes 2 erledigen ließen.
2ß) Für unseren Zweck brauchte man dies wenigstens für zi + 2 s 2 n—3,
(z? ü 5).
27) 0. Haupt, J. f. Math. 169 (1933), S. 177—180.
28) Auch wenn n 5 und s^n -\-2 ist.
(Eingegangen am 23. April 1934.)
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A. Rosenthal
«) /ür 72 = 2, r = 2, 3 (wegen Satz 1 und Nr. 5);
1?) /zzr 72 = 3, r = 3, 4, 5 (wegen Satz 1, 2, 3);
y) für n = 4, 7’= 4, 5, 6, 7 (wegen Satz 1, 2, 3 und Nr. 5).
9. Wie bereits bemerkt, existieren im Rn für jedes rl>2n
Mengen SVÜ, die ein Kontinuum enthalten. Satz 1 und Nr. 5
zeigen, daß in keinem 5)X des Rn für n^r^2n—1 ein Jordan-
bogen 72-ter oder (72 -j- l)-ter Ordnung vorkommen kann. Man
könnte (wegen Nr. 1) daraus schließen, daß in denselben Fällen
(auch für 72 5 und für r 72 —|—2) überhaupt kein Teilkon-
tinuum enthalten kann, wenn man wüßte, daß im R„ jeder Jor-
danbogen Js von s-ter Ordnung (s > n) einen Teilbogen 72-ter
Ordnung besitzt. Für s = 72-j- 1 ist diese Aussage über Js, wie
bereits in Nr. 5 benutzt, von O. Haupt 2ö) bewiesen worden. Aber
für sj>72-|-2 ist in voller Allgemeinheit bisher nichts darüber
bekannt2G). Zwar hat O. Haupt * * 27) zeigen können, daß im Rn jeder
(bis auf eine nirgends dichte Menge von Stellen) 72-mal stetig
differenzierbare Jordanbogen s-ter Ordnung (s > 72) einen Teil-
bogen 72-ter Ordnung enthält. Aber diese Differenzierbarkeits-
voraussetzung bedeutet eine erhebliche, für unseren vorliegenden
Zweck nicht zu rechtfertigende Einschränkung. Übrigens läßt sich
sogleich sehen, daß 28) keine Menge des Rn für n <Lr<L2n—1
einen Jordanbogen Js enthalten kann, der bis auf eine nirgends
dichte Menge von Stellen überall eine eigentliche Tangente 1G) be-
sitzt. Denn in diesem Fall liefert Hilfsatz 1 für einen durchweg
mit eigentlicher Tangente versehenen Teilbogen von Js eine
(72—l)-dimensionale Ebene, die in nicht nur stützt, sondern
auch berührt. Deshalb kann man hier, ausgehend von Hilfsatz 1
statt von Hilfsatz 2, den Beweisgang des Satzes 1 entsprechend
für Js durchführen. — Schließlich sei bemerkt, daß sich — auch
ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen — noch eine Reihe von
weiteren (auf 72, r bezüglichen) EzAze/fällen durch eine passende
Verallgemeinerung des Hilfsatzes 2 erledigen ließen.
2ß) Für unseren Zweck brauchte man dies wenigstens für zi + 2 s 2 n—3,
(z? ü 5).
27) 0. Haupt, J. f. Math. 169 (1933), S. 177—180.
28) Auch wenn n 5 und s^n -\-2 ist.
(Eingegangen am 23. April 1934.)
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