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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0071
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E. Salkowski
kann: P„y.i (oder QJ ist derjenige Schnittpunkt der Kreise um
Pr mit dem Radius 2d, bzw. um Pn mit dem Radius s, der auf
der Parallelen zu Pt Pn durch den Punkt P() liegt. Diese Kon-
struktion kann weiter fortgesetzt werden, und man erhält so der
Reihe nach die Punkte Pn+2, Pn+3, ■ ■ ■ ■ (oder in anderer Bezeich-
nung Q.2, Q3,...), für welche sowohl die Bedingung (1) als auch
die Bedingung
(3) PiQi = PiP,l+i^=2d
besteht. Zugleich erkennt man aus der Kongruenz der Dreiecke
Pi+l Qi Pi = Pi+1 Qi Qi + 1
daß das von dem Linienzug Pi Pi+i ... Qi und der Schlußlinie
Pi Qi eingeschlossene Flächenstück gleich dem durch
Pi+l Pi+2 . . . Qi+1 Pi+l
umschlossenen Flächenstück ist. Die Bedingungen des Satzes (II)
sind daher „im Endlichen“ gleichwertig mit denen des Satzes
(I), und sie bleiben es auch, wie eine leichte Grenzbetrachtung
zeigt, wenn man zur Grenze übergeht, d. h. die Punkte Pi auf
der Kurve c unbeschränkt verdichtet und ihre Anzahl unbeschränkt
wachsen läßt.
Durch denselben Grenzübergang überzeugt man sich, daß
man jeden wendepunktfreien Kurvenbogen zwischen P und Q
eindeutig derart fortsetzen kann, daß die Bedingungen des Satzes
(I) erfüllt sind, und zwar führt die Aufgabe analytisch auf eine
Differentialgleichung erster Ordnung und vierten Grades. Ist c
ein Kreisbogen, so liegt seine Fortsetzung auf demselben Kreise,
und man erhält das selbstverständliche Ergebnis, daß der Kreis
eine Eilinie ist, die der Bedingung genügt, daß in ihr eine Schar
von Sehnen .fester Länge existiert, die Kurvenbögen konstanter
Länge abschneiden. Ob aber auch andere Kurvenstücke c sich
in der angegebenen Weise zu einer geschlossenen Eilinie fort-
setzen lassen, steht noch offen; die Frage steht übrigens in
nahem Zusammenhang mit einem Sonderfall eines bereits 1917
von W. Blaschke l) angeregten Problemes, das meines Wissens
bisher eine Lösung noch nicht gefunden hat.
Dem Linienzug P0...Qm sind gleichschenklige Trapeze
Pi Pi+i Qi Qi+i
’) W. Blaschke, Über affine Geometrie IX. § 4. Aufgaben über Eilinien.
Leipz. Berichte 69, 1917, S. 417.
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E. Salkowski
kann: P„y.i (oder QJ ist derjenige Schnittpunkt der Kreise um
Pr mit dem Radius 2d, bzw. um Pn mit dem Radius s, der auf
der Parallelen zu Pt Pn durch den Punkt P() liegt. Diese Kon-
struktion kann weiter fortgesetzt werden, und man erhält so der
Reihe nach die Punkte Pn+2, Pn+3, ■ ■ ■ ■ (oder in anderer Bezeich-
nung Q.2, Q3,...), für welche sowohl die Bedingung (1) als auch
die Bedingung
(3) PiQi = PiP,l+i^=2d
besteht. Zugleich erkennt man aus der Kongruenz der Dreiecke
Pi+l Qi Pi = Pi+1 Qi Qi + 1
daß das von dem Linienzug Pi Pi+i ... Qi und der Schlußlinie
Pi Qi eingeschlossene Flächenstück gleich dem durch
Pi+l Pi+2 . . . Qi+1 Pi+l
umschlossenen Flächenstück ist. Die Bedingungen des Satzes (II)
sind daher „im Endlichen“ gleichwertig mit denen des Satzes
(I), und sie bleiben es auch, wie eine leichte Grenzbetrachtung
zeigt, wenn man zur Grenze übergeht, d. h. die Punkte Pi auf
der Kurve c unbeschränkt verdichtet und ihre Anzahl unbeschränkt
wachsen läßt.
Durch denselben Grenzübergang überzeugt man sich, daß
man jeden wendepunktfreien Kurvenbogen zwischen P und Q
eindeutig derart fortsetzen kann, daß die Bedingungen des Satzes
(I) erfüllt sind, und zwar führt die Aufgabe analytisch auf eine
Differentialgleichung erster Ordnung und vierten Grades. Ist c
ein Kreisbogen, so liegt seine Fortsetzung auf demselben Kreise,
und man erhält das selbstverständliche Ergebnis, daß der Kreis
eine Eilinie ist, die der Bedingung genügt, daß in ihr eine Schar
von Sehnen .fester Länge existiert, die Kurvenbögen konstanter
Länge abschneiden. Ob aber auch andere Kurvenstücke c sich
in der angegebenen Weise zu einer geschlossenen Eilinie fort-
setzen lassen, steht noch offen; die Frage steht übrigens in
nahem Zusammenhang mit einem Sonderfall eines bereits 1917
von W. Blaschke l) angeregten Problemes, das meines Wissens
bisher eine Lösung noch nicht gefunden hat.
Dem Linienzug P0...Qm sind gleichschenklige Trapeze
Pi Pi+i Qi Qi+i
’) W. Blaschke, Über affine Geometrie IX. § 4. Aufgaben über Eilinien.
Leipz. Berichte 69, 1917, S. 417.
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