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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0073
6 E. Salkowski
gente der Zykloide sowohl den Umfang als auch den Inhalt des
Bereichs hälftet.
Die Bedingung, daß es in einer Eilinie eine Schar von
gleichlangen Sehnen gibt, die Bögen von konstanter Länge aus-
schneiden, genügt also nicht, um die Linie als Kreis zu kenn-
zeichnen ; nicht einmal die wesentlich engere Bedingung reicht
aus, daß die Sehnen konstanter Länge den Umfang und damit
auch den Inhalt hälften. Wir können uns aber von jetzt an auf
den Fall beschränken, daß die Kurve (TV) gleichzeitig mit c eine
Eilinie ist. Ehe daraus aber weitere Folgerungen gezogen werden,
seien vorerst einige leicht übersehbare Sonderfälle erledigt.
Wir setzen jetzt voraus, daß sich einem Kurvenstück c drei
solche Scharen von Sehnen von den festen Längen 2dr, 2d.,,
2rf3 einschreiben lassen, die jeweils konstante Bogenlängen sx,
s2, s3 abschneiden und zu einem der Kurve eingeschriebenen
Dreieck PQR zusammengesetzt werden können. Ist etwa
PQ — 2dt, QR = 2d.2, PR 2d,,
so läßt sich dieses Dreieck kongruent so bewegen, daß seine
Ecken dauernd auf der Kurve c liegen. Eine jede infinitesimale
Bewegung ist aber eine Drehung um den momentanen Drehpol,
und dieser fällt in diesem Falle, da die von P, Q, R, beschrie-
benen Bogenelemente gleich sind, mit dem Mittelpunkt des
Umkreises des Dreiecks PQR zusammen. Daher liegen auch die
„Nachbarlagen“ P', Q', R' der Ecken des Dreiecks auf diesem
Kreise. Daraus folgt, daß der Kreis nicht nur bei einer infinitesi-
malen, sondern auch bei einer endlichen Bewegung fest bleibt,
d. h. die Kurve c muß mit ihm zusammenfallen. Damit hat man
eine wesentliche Erweiterung der Bedingungen des Satzes (I)
gewonnen; er kann jetzt folgendermaßen ausgesprochen werden:
(III) . We/z/z ein ebenes reguläres Kurvenstück die Eigenschaft
hat, daß in ihm drei Scharen von Sehnen konstanter Länge 2dr,
2d.,, 2da jeweils konstante Kurvenlängen abschneiden derart,
daß der Kurve ein Dreieck mit den Seiten 2dt, 2d.,, 21/3 einge-
schrieben werden kann, so ist das Kurvenstück ein Kreisbogen.
Nur scheinbar allgemeiner, tatsächlich ein Sonderfall des
Satzes (III), ist folgende Aussage:
(IV) . Wenn in einem ebenen Kurvenstück alle Sehnen über
der konstanten Bogenlänge 2 s die gleiche Länge 2d und auch
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gente der Zykloide sowohl den Umfang als auch den Inhalt des
Bereichs hälftet.
Die Bedingung, daß es in einer Eilinie eine Schar von
gleichlangen Sehnen gibt, die Bögen von konstanter Länge aus-
schneiden, genügt also nicht, um die Linie als Kreis zu kenn-
zeichnen ; nicht einmal die wesentlich engere Bedingung reicht
aus, daß die Sehnen konstanter Länge den Umfang und damit
auch den Inhalt hälften. Wir können uns aber von jetzt an auf
den Fall beschränken, daß die Kurve (TV) gleichzeitig mit c eine
Eilinie ist. Ehe daraus aber weitere Folgerungen gezogen werden,
seien vorerst einige leicht übersehbare Sonderfälle erledigt.
Wir setzen jetzt voraus, daß sich einem Kurvenstück c drei
solche Scharen von Sehnen von den festen Längen 2dr, 2d.,,
2rf3 einschreiben lassen, die jeweils konstante Bogenlängen sx,
s2, s3 abschneiden und zu einem der Kurve eingeschriebenen
Dreieck PQR zusammengesetzt werden können. Ist etwa
PQ — 2dt, QR = 2d.2, PR 2d,,
so läßt sich dieses Dreieck kongruent so bewegen, daß seine
Ecken dauernd auf der Kurve c liegen. Eine jede infinitesimale
Bewegung ist aber eine Drehung um den momentanen Drehpol,
und dieser fällt in diesem Falle, da die von P, Q, R, beschrie-
benen Bogenelemente gleich sind, mit dem Mittelpunkt des
Umkreises des Dreiecks PQR zusammen. Daher liegen auch die
„Nachbarlagen“ P', Q', R' der Ecken des Dreiecks auf diesem
Kreise. Daraus folgt, daß der Kreis nicht nur bei einer infinitesi-
malen, sondern auch bei einer endlichen Bewegung fest bleibt,
d. h. die Kurve c muß mit ihm zusammenfallen. Damit hat man
eine wesentliche Erweiterung der Bedingungen des Satzes (I)
gewonnen; er kann jetzt folgendermaßen ausgesprochen werden:
(III) . We/z/z ein ebenes reguläres Kurvenstück die Eigenschaft
hat, daß in ihm drei Scharen von Sehnen konstanter Länge 2dr,
2d.,, 2da jeweils konstante Kurvenlängen abschneiden derart,
daß der Kurve ein Dreieck mit den Seiten 2dt, 2d.,, 21/3 einge-
schrieben werden kann, so ist das Kurvenstück ein Kreisbogen.
Nur scheinbar allgemeiner, tatsächlich ein Sonderfall des
Satzes (III), ist folgende Aussage:
(IV) . Wenn in einem ebenen Kurvenstück alle Sehnen über
der konstanten Bogenlänge 2 s die gleiche Länge 2d und auch
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