DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0082
M. Steck: Struktur der Vertauschungsaxiome Vj und V2
4
haben und in engem Zusammenhang zu den projektiven Abbil-
dungen (Kollineationen) stehen.
Vx und V2 setzen I. 1,1. 2, I. 9* voraus, ferner die in diesem
Zusammenhang wichtigste Definition der „Pascal-Anordnung“
(P. A.) von sechs Punkten einer Ebene, die lautet: „Sechs Punkte
1, 2, 3, 4, 5, 6, bilden in dieser Reihenfolge eine P. A. (= sind
Ecken eines Pa sc al-Sechsecks), wenn für die Punkte
(12) X (45) =P<0), (23) X (56) = P<0), (34) X (61) = P'0>
die Kollinearbeziehung
(P<01 p™ p‘0))=p»
gilt“. (Wir nennen dies die ursprüngliche P. A. p0)4)-
§ 2. Vx-Invarianzen der Pascal-Änordnung.
1. Vt lautet: „Bilden die Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 in dieser
Reihenfolge eine P. A., so bleibt diese Eigenschaft bei Vertau-
schung gleichartiger, d. h. entweder gerade oder ungerade be-
zifferter Punkte erhalten“5).
Dieses Axiom fordert also, daß die aus P. A. p0 durch die Aus-
übung je einer der sechs (formal-möglichen) „kleinen“ Vertau-
schungen (v = 1, 2 ,..., 6), nämlich :
(V/* 1)=1^3, ^2) = 3^5, $<3) * = 1 «->5,
po f i ’ i ’ i
I= 4^x6, 0(15) = 2«^6, ®J6)=2^4
hervorgehende Punkt-Geraden-Anordnung auch Pascal-Anordnung
(wie P. A. p0) ist. Es ergeben sich daher formal folgende P. A.
Pi. P>> ••••, P6:
4) Ihr sind wegen I. 9*, das die Vertauschbarkeit der Elemente zu
beiden Seiten des Schnittsymbols X sichert, die folgenden fünf P. A. aequi-
valent (oo): (Reihenfolge in sich cyclisch)
1, 2, 3, 4, 5, 6 oo 2, 3, 4, 5, 6, 1 3, 4, 5, 6, 1, 2
on 4, 5, 6, 1, 2, 3 co 5, 6, 1, 2, 3, 4 6, 1, 2, 3, 4, 5
(+Cyclus), wegen I. 1, I. 2, wonach (12) = (21),..., (16) = (61) ist, aber
auch noch die folgenden:
6, 5, 4, 3, 2, 1 oo 5, 4, 3, 2, 1, 6 4, 3, 2, 1, 6, 5
3, 2, 1, 6, 5, 4 cxi 2, 1, 6, 5, 4, 3 1, ß, 5, 4, 3, 2
(—Cyclus).
5) Die logische Notwendigkeit und Unentbehrlichkeit dieses Axioms
erhellt, wie sich zeigen wird, daraus, daß die Ausübung irgendeiner der
unter Vi fallenden Vertauschungen zu einer P. A. führt, die mit keiner
der zwölf unter der vorigen Fußnote genannten aequivalenten, letztlich
also auch nicht mit P. A. p0 identisch ist (vgl. Fußn.7).
69
4
haben und in engem Zusammenhang zu den projektiven Abbil-
dungen (Kollineationen) stehen.
Vx und V2 setzen I. 1,1. 2, I. 9* voraus, ferner die in diesem
Zusammenhang wichtigste Definition der „Pascal-Anordnung“
(P. A.) von sechs Punkten einer Ebene, die lautet: „Sechs Punkte
1, 2, 3, 4, 5, 6, bilden in dieser Reihenfolge eine P. A. (= sind
Ecken eines Pa sc al-Sechsecks), wenn für die Punkte
(12) X (45) =P<0), (23) X (56) = P<0), (34) X (61) = P'0>
die Kollinearbeziehung
(P<01 p™ p‘0))=p»
gilt“. (Wir nennen dies die ursprüngliche P. A. p0)4)-
§ 2. Vx-Invarianzen der Pascal-Änordnung.
1. Vt lautet: „Bilden die Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 in dieser
Reihenfolge eine P. A., so bleibt diese Eigenschaft bei Vertau-
schung gleichartiger, d. h. entweder gerade oder ungerade be-
zifferter Punkte erhalten“5).
Dieses Axiom fordert also, daß die aus P. A. p0 durch die Aus-
übung je einer der sechs (formal-möglichen) „kleinen“ Vertau-
schungen (v = 1, 2 ,..., 6), nämlich :
(V/* 1)=1^3, ^2) = 3^5, $<3) * = 1 «->5,
po f i ’ i ’ i
I= 4^x6, 0(15) = 2«^6, ®J6)=2^4
hervorgehende Punkt-Geraden-Anordnung auch Pascal-Anordnung
(wie P. A. p0) ist. Es ergeben sich daher formal folgende P. A.
Pi. P>> ••••, P6:
4) Ihr sind wegen I. 9*, das die Vertauschbarkeit der Elemente zu
beiden Seiten des Schnittsymbols X sichert, die folgenden fünf P. A. aequi-
valent (oo): (Reihenfolge in sich cyclisch)
1, 2, 3, 4, 5, 6 oo 2, 3, 4, 5, 6, 1 3, 4, 5, 6, 1, 2
on 4, 5, 6, 1, 2, 3 co 5, 6, 1, 2, 3, 4 6, 1, 2, 3, 4, 5
(+Cyclus), wegen I. 1, I. 2, wonach (12) = (21),..., (16) = (61) ist, aber
auch noch die folgenden:
6, 5, 4, 3, 2, 1 oo 5, 4, 3, 2, 1, 6 4, 3, 2, 1, 6, 5
3, 2, 1, 6, 5, 4 cxi 2, 1, 6, 5, 4, 3 1, ß, 5, 4, 3, 2
(—Cyclus).
5) Die logische Notwendigkeit und Unentbehrlichkeit dieses Axioms
erhellt, wie sich zeigen wird, daraus, daß die Ausübung irgendeiner der
unter Vi fallenden Vertauschungen zu einer P. A. führt, die mit keiner
der zwölf unter der vorigen Fußnote genannten aequivalenten, letztlich
also auch nicht mit P. A. p0 identisch ist (vgl. Fußn.7).
69