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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0084
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Vertauschungsaxiome Vt und V2
Gültigkeit von V15 außer der ursprünglichen P. A. p0 nur noch drei
weitere P.A. pz (2 = 1, II, III). [Diese Geraden selbst gehen übri-
gens noch durch einen (STEiNER-)Punkt6) u. 7).J
Wir nennen die beiden 0*1’, die auf ein und dieselbe P.A.pz
führen, „identische (Ü‘}“ und fassen sie demgemäß paarig zu je
einer Gruppe zusammen, sodaß wir kurz von den drei „identischen
-Gruppen“ sprechen können. Es sind dies nach (*)- -(****)
die folgenden:
0 =0 <4> = 0 ®; 0 <2> = 0 = (t> <n>; 0 ;3)=0 ;6) = 0 ;in)
oder ausführlicher:
0<I) = l<->3ate4<->6; 0jn) = 3^5 = 2^6; v/[II) = 1 = 2^->4-
Als geometrische Abbildungsaussage formuliert, liefert dies den
R,: Übt man auf irgendeine — in
einem geometrischen Zusammenhang
auftretende oder herzustellende —
Pascal-Figur p0 eine der sechs (nach
VJ möglichen Ü = 1, 2, ..., 6)
aus, so kann dabei P. A. p0 höch-
stens in eine der drei — untereinan-
der und von P. A. p0 verschiedenen —
P. A. px (2 = I, II, III) übergehen. — Sie
geht in diejenige P. A. px über, die der
0/d in ihrer identischen Gruppe ent-
spricht 8).
2. Wir leiten jetzt weitere Vt-Invarianzen der 0^ und ihrer
identischen Gruppen her. Außer Rj gelten die folgenden Sätze
R2—R4, deren jeder sich durch eine spezielle Figur realisieren
ließe, die immer Teilfigur (Ausschnitt) der obigen ist.
R_: Die Folge der in geradzahliger Anzahl (2 Mal, 4 Mal,
..., 2n Mal) auf P. A. pQ nacheinander (hintereinander) cius-
°) u. 7) Diese Fußnoten stehen auf der vorangehenden Seite.
8) Daß außerdem jede der 0/1’’ den Desarguesschen Satz für zwei
inbezug auf einen der Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 als Deckstand decksichtig
gelegene Dreiecke beweist, ist in L., S. 11 ff. für die gezeigt. Es folgt
aber auch Vi. als Satz aus dem Desarguesschen Lehrsatz (vgl. L. S. 10ff.),
sodaß Vx und Desarguesscher Satz aequivalent sind.
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Vertauschungsaxiome Vt und V2
Gültigkeit von V15 außer der ursprünglichen P. A. p0 nur noch drei
weitere P.A. pz (2 = 1, II, III). [Diese Geraden selbst gehen übri-
gens noch durch einen (STEiNER-)Punkt6) u. 7).J
Wir nennen die beiden 0*1’, die auf ein und dieselbe P.A.pz
führen, „identische (Ü‘}“ und fassen sie demgemäß paarig zu je
einer Gruppe zusammen, sodaß wir kurz von den drei „identischen
-Gruppen“ sprechen können. Es sind dies nach (*)- -(****)
die folgenden:
0 =0 <4> = 0 ®; 0 <2> = 0 = (t> <n>; 0 ;3)=0 ;6) = 0 ;in)
oder ausführlicher:
0<I) = l<->3ate4<->6; 0jn) = 3^5 = 2^6; v/[II) = 1 = 2^->4-
Als geometrische Abbildungsaussage formuliert, liefert dies den
R,: Übt man auf irgendeine — in
einem geometrischen Zusammenhang
auftretende oder herzustellende —
Pascal-Figur p0 eine der sechs (nach
VJ möglichen Ü = 1, 2, ..., 6)
aus, so kann dabei P. A. p0 höch-
stens in eine der drei — untereinan-
der und von P. A. p0 verschiedenen —
P. A. px (2 = I, II, III) übergehen. — Sie
geht in diejenige P. A. px über, die der
0/d in ihrer identischen Gruppe ent-
spricht 8).
2. Wir leiten jetzt weitere Vt-Invarianzen der 0^ und ihrer
identischen Gruppen her. Außer Rj gelten die folgenden Sätze
R2—R4, deren jeder sich durch eine spezielle Figur realisieren
ließe, die immer Teilfigur (Ausschnitt) der obigen ist.
R_: Die Folge der in geradzahliger Anzahl (2 Mal, 4 Mal,
..., 2n Mal) auf P. A. pQ nacheinander (hintereinander) cius-
°) u. 7) Diese Fußnoten stehen auf der vorangehenden Seite.
8) Daß außerdem jede der 0/1’’ den Desarguesschen Satz für zwei
inbezug auf einen der Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 als Deckstand decksichtig
gelegene Dreiecke beweist, ist in L., S. 11 ff. für die gezeigt. Es folgt
aber auch Vi. als Satz aus dem Desarguesschen Lehrsatz (vgl. L. S. 10ff.),
sodaß Vx und Desarguesscher Satz aequivalent sind.
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