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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0091
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0. Volk: Flächengruppen mit rhombischen Netzen
§ 1. Die Funktionalgleichung.
Sei:
^2 = ^+^ + ^> C2==^+^+2'2; A = C-
9 der Winkel der Parameterkurven. Die Parameterkurven haben
dann die geodätische Krümmung — Ur (ii) bzw. — V1 (u), wenn ist:
I Au — cos #~FX sin # #y == (A A2sin #,
| Av — Au cos sin 9 9U = V1 A2 sin 9,
somit:
Au sin # —]— A (_9V —j— cos 9 9^ = A~ (^Ul —cos #),
AL, sin 9 -|- A (9U -j- cos 9 9-A) = A2 cos 9);
die Substitution
£= —1—
A sin 9
ergibt:
9V Ur -j- cos 9
zx • sin#' sin2 9
(2)
_ 9U __ Fi cos
sin# sin2#
Die Integrabilitätsbedingung
a2
a v2
. a / lAA-fAcos#^ _ # /ux Vj cos #\
'du\ sin2 9 / a v \ sin2 9 )
H- i “F Fi cos #) 9U — (Vj cos &) gjn 3 = 0
ist identisch erfüllt für:
(3) tg^ = F(u + ü)^(u —y);
(4) + (FF’-^~V' Fr+3 = o-
Führt man die neuen Veränderlichen ü, v ein durch die Beziehungen:
,_a?tz,_cZy
(5) dii=y’ du = Y’
so kann man die Gleichung (4) in der Form schreiben:
A log (t/, v, + F)) - log vt (F‘ + F-)) = o,
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0. Volk: Flächengruppen mit rhombischen Netzen
§ 1. Die Funktionalgleichung.
Sei:
^2 = ^+^ + ^> C2==^+^+2'2; A = C-
9 der Winkel der Parameterkurven. Die Parameterkurven haben
dann die geodätische Krümmung — Ur (ii) bzw. — V1 (u), wenn ist:
I Au — cos #~FX sin # #y == (A A2sin #,
| Av — Au cos sin 9 9U = V1 A2 sin 9,
somit:
Au sin # —]— A (_9V —j— cos 9 9^ = A~ (^Ul —cos #),
AL, sin 9 -|- A (9U -j- cos 9 9-A) = A2 cos 9);
die Substitution
£= —1—
A sin 9
ergibt:
9V Ur -j- cos 9
zx • sin#' sin2 9
(2)
_ 9U __ Fi cos
sin# sin2#
Die Integrabilitätsbedingung
a2
a v2
. a / lAA-fAcos#^ _ # /ux Vj cos #\
'du\ sin2 9 / a v \ sin2 9 )
H- i “F Fi cos #) 9U — (Vj cos &) gjn 3 = 0
ist identisch erfüllt für:
(3) tg^ = F(u + ü)^(u —y);
(4) + (FF’-^~V' Fr+3 = o-
Führt man die neuen Veränderlichen ü, v ein durch die Beziehungen:
,_a?tz,_cZy
(5) dii=y’ du = Y’
so kann man die Gleichung (4) in der Form schreiben:
A log (t/, v, + F)) - log vt (F‘ + F-)) = o,
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