Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Friedrich Engel

man diese Gleichungen so wählen, daß sie in den x und u bi-
linear werden. Es stellt sich heraus, daß jeder Kegelschnitt, als
Verein aufgefaßt, durch vier Gleichungen dargestellt werden kann,
von denen eine überzählig ist, nämlich durch:

(2)

1 (cz x) (zz /?) — (ö x) (zz «) = 0, (ö x) (zz 7) — (c x) (zz ß) = 0,
I (c x) (zz a) — (d x) (zz 7) = 0, (ZZ x) = 0.

Dabei sind die a, ß, y gewisse zu den Punktkoordinaten kogre-
diente Konstanten, und ebenso die cz, b, c Konstanten, kogredient
zu den Linienkoordinaten. Überdies müssen die Gleichungen

(3) (aß) = (ba), (by) = (cß), (ca) = (ciy)
erfüllt sein. Durch Elimination der zz erhält man die Kurve zweiter
Ordnung, die dem Kegelschnitte entspricht, in der Gestalt:

(4) (ax) (ß y x)(b x) (y a x)(c x) (aßx) = O,

und ähnlich die Kurve zweiter Klasse:

(5) (zz a) (zz b c) 4~ (zz ß) (zz c cz) 4” (zz 7) (zz a b) = 0.

Diese Gleichungen (4) und (5) bestimmen zwei Polarsysteme, die,
sobald (cz b c) • (aß 7) nicht verschwindet, wegen (3) zusammen-
fallen und beide nicht ausgeartet sind.
Besonders hervorgehoben muß werden, daß die linken Seiten
der drei ersten Gleichungen (2) drei unabhängige infinitesimale
projektive Transformationen darstellen. Diese erzeugen eine drei-
gliedrige Gruppe, bei der der betreffende Kegelschnitt invariant
bleibt. Setzt man nämlich z. B.:

.
so hat man drei infinitesimale Punkttransformationen, bei denen
die linke Seite von (4) invariant bleibt, sobald (3) erfüllt ist.
Außerdem wird:

(6) ((7l/)=-(c«) .
was eben die Gruppeneigenschaft zum Ausdrucke bringt.
Durch die Gleichungen (2) wird jeder Kegelschnitt dargestellt.
Der dargestellte Kegelschnitt ändert sich aber nicht, wenn man
die a, ß, y einer beliebigen, linearen homogenen Punkttransfor-
mation unterwirft und die cz, b, c der entsprechenden Transfor-
mation in Linienkoordinaten. Außerdem kann man selbstverständ-
lich cz, b, c und auch a, ß. y durch beliebige proportionale Größen
ersetzen.

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