DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0016
Die Kegelschnitte als Elementvereine
5
II. Die Differentialgleichung der Kegefschnitfe.
Berücksichtigt man auch Ableitungen höherer Ordnung, so
erhält man für jeden Verein außer den Gleichungen (1) noch ge-
wisse andere, die wir bis zur vierten Ordnung hinschreiben :
(7) (zzx") = (zz" x).= — (zz'x'),
1 (zzx'")= — 2 (zz'x") — (zz"x'),
| («'" x)= — (zz'x") — 2 (zz"x'),
( (zz xlv) = — 3 (zz' x) - 3 (zz" x") — (zzx'),
| (zzivx) = — (zz' x) — 3 (zz" x") — 3 (zzx').
Der Inbegriff aller Kegelschnitte in dem von uns angenommenen
Sinne läßt sich dann durch eine Differentialgleichung definieren,
die, wie es scheint, bisher noch nicht aufgestellt worden ist.
Geradeso wie Study die Differentialgleichung der Kurven
zweiter Ordnung aus der Gleichung für den Pascalschen Satz
abgeleitet hat1), gewinnen wir die gesuchte Differentialgleichung
aus der Gleichung, die der Pascalsche Satz liefert, wenn man ihn
auf drei Punkte x, z/, z eines Kegelschnittes und auf die zuge-
hörigen Tangenten zz, zz, w anwendet.
Wir haben dann erstens:
(10) (zzx) = O, (uz/) = O, (zuz) = 0
und zweitens die Gleichung:
(11) (zz z/) (vz) (zu x) — (zz z) (zzx) (tuz/) = O,
die aussagt, daß die beiden Dreiecke x, z/, z und zz, u, w perspek-
tiv sind. Um hier zunächst das Element z, w mit x, zz zusammen-
fallen zu lassen, setzen wir:
+ ^ + ^72^+ • • • , w = u ~u'.. . ;
dann wird wegen (1), (7), (8):
(zz z) = — (zz x ) — [2 (zz' x') -|- (zz" x')J -j- . . . ,
W = —y («' V) - [(«' x") + 2 («” .v')] + ... .
') Study : Die Elemente zweiter Ordnung in der ebenen projektiven
Geometrie, Leipz. Ber. 53, 1901. S. 349.
3
5
II. Die Differentialgleichung der Kegefschnitfe.
Berücksichtigt man auch Ableitungen höherer Ordnung, so
erhält man für jeden Verein außer den Gleichungen (1) noch ge-
wisse andere, die wir bis zur vierten Ordnung hinschreiben :
(7) (zzx") = (zz" x).= — (zz'x'),
1 (zzx'")= — 2 (zz'x") — (zz"x'),
| («'" x)= — (zz'x") — 2 (zz"x'),
( (zz xlv) = — 3 (zz' x) - 3 (zz" x") — (zzx'),
| (zzivx) = — (zz' x) — 3 (zz" x") — 3 (zzx').
Der Inbegriff aller Kegelschnitte in dem von uns angenommenen
Sinne läßt sich dann durch eine Differentialgleichung definieren,
die, wie es scheint, bisher noch nicht aufgestellt worden ist.
Geradeso wie Study die Differentialgleichung der Kurven
zweiter Ordnung aus der Gleichung für den Pascalschen Satz
abgeleitet hat1), gewinnen wir die gesuchte Differentialgleichung
aus der Gleichung, die der Pascalsche Satz liefert, wenn man ihn
auf drei Punkte x, z/, z eines Kegelschnittes und auf die zuge-
hörigen Tangenten zz, zz, w anwendet.
Wir haben dann erstens:
(10) (zzx) = O, (uz/) = O, (zuz) = 0
und zweitens die Gleichung:
(11) (zz z/) (vz) (zu x) — (zz z) (zzx) (tuz/) = O,
die aussagt, daß die beiden Dreiecke x, z/, z und zz, u, w perspek-
tiv sind. Um hier zunächst das Element z, w mit x, zz zusammen-
fallen zu lassen, setzen wir:
+ ^ + ^72^+ • • • , w = u ~u'.. . ;
dann wird wegen (1), (7), (8):
(zz z) = — (zz x ) — [2 (zz' x') -|- (zz" x')J -j- . . . ,
W = —y («' V) - [(«' x") + 2 («” .v')] + ... .
') Study : Die Elemente zweiter Ordnung in der ebenen projektiven
Geometrie, Leipz. Ber. 53, 1901. S. 349.
3