Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

6

Friedrich Engel

Läßt man daher in (11) den Faktor t7, weg und setzt dann f = 0,
so kommt:
(12) (uij) (zzx) {(zz'jc")— (zz"xz)j— 3(zzzx'){(zzz/)(üxz)— (zzx) (zzzz/)j =0.
Es ist dies die Bedingung dafür, daß durch ein Element erster und
eines dritter Ordnung ein Kegelschnitt geht.
Läßt man jetzt auch das Element y, v mit x, zz zusammen-
fallen, so erhält man durch Benutzung von (8), (9) die Differen-
tialgleichung der Kegelschnitte in der Gestalt:
( 9(zz'V)2) (zzzUv) - (zzivjc')+4 [(zz"x) - (zzZ)J)
(13) { —45(zzzxz)'[(zzza")—(zz"xz)] (zz"jc")-P[(zzzxw)—(zzjcz)] [(zzzx")-|-(zz"xz)] '
| 20 [2(zz'x") --|- (zz"x')J [(zz'Z) -j- 2 (zz"x')J [(zz'x") — (zz"xz)] = 0.
Study, dem ich dieses Ergebnis im Dezember 1926 mitteilte,
schrieb mir bald darauf (22. XII. 1926), daß man, sobald man
seine Koordinaten x, u für die Elemente zweiter Ordnung benützt,
die Differentialgleichung (13) durch die äußerst einfache:
(14) (zz" x) — (zzx") = 0
ersetzen kann. Um sich davon zu überzeugen, muß man beachten,
daß diese STUDYschen Koordinaten zu allgemeinen Elementen
dritter und höherer Ordnung nur dann führen, wenn (zz'x') nicht
identisch verschwindet. Nun kann man setzen:
u = Qii, y = ox,
und findet:
(uV) — (u'f") = 3 (crpZ — (JO-Z) (zz'jc') 4- QO {(zz"jc')—(zz'x")[ •
Man kann daher, wenn (zzzvz)4=0, stets erreichen, daß
(u'Y) - (uzy") = 0
wird. Daraus aber folgt:
(uy') — (uzy'") = 0, (uIV/) — (uzrIV) + (u/') — (u"x) = 0,
und die Gleichung (13) kommt hinaus auf:
(u"y/zz) — (uzzz Xzz) = 0.
(Eingegangen am 20. April 1934.)

4