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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0033
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G. Kowalewski
ausübt, wobei e0 in Ruhe bleibt, und dann durch (1) die Über-
führung in e bewirkt.
Denkt man sich jedes der Elemente e0 und e in bestimmtem
Sinne durchlaufen und verlangt, daß diese Orientierung die Trans-
formation mitmacht, so muß ctr ein bestimmtes Zeichen haben. Ein
orientiertes Kurvenelement vierter Ordnung mit der Eigenschaft
ß2 3:3 — 82 V3 > 0 ist also immer nur auf eine Weise affinäquivalent
mit dem orientierten Element e0. Die Affinität, welche e0 in e über-
führt, bezeichnen wir mit T . Ebenso existiert im Falle
üo
V2 3,3 32 ^3 < 0
eine und nur eine Affinität, die das orientierte Element e0 in das
orientierte Element e verwandelt. Ihr Symbol lautet 7-° . Sind
ferner und e2 zwei orientierte Kurvenelemente vierter Ordnung,
und hat beidemal ß2 g3 — §2 t)3 dasselbe Zeichen, so gibt es eine
und nur eine Affinität Tl'2, die e, in e9 überführt.
Wir werden uns im folgenden auf Kurvenelemente erster Art
beschränken und demgemäß mit dem Grund- oder Anfangs-
element e0 arbeiten. Es soll hier eine affingeometrische Unter-
suchung durchgeführt werden, die in meinem Buche „Vorlesungen
über Allgemeine natürliche Geometrie und LiEsche Transformations-
gruppen“ 9 nur teilweise erledigt ist. Zur Vorbereitung sei folgen-
des bemerkt.
Aus (3) läßt sich mit Rücksicht auf di = 11 dx entnehmen, daß
1
(4) ds = (y.> z3 — z2 ,z/3) 6 dx
das Bogen element unserer Gruppe ist, und zwar geeicht auf e0,
weil es sich beim Übergange zu e0 in dx verwandelt.
Wegen der ungeraden Parameterzahl der Affingruppe gibt es
bei einer Raumkurve zwei Differentialinvarianten fünfter Ordnung
/ und J, die inbezug auf y5 und z5 linear sind. Man kann diese
Invarianten, die sogenannten A f f i n k r ii m m u n g e n, in folgender
Form schreiben:
/5) U = (e) + Vi (e) z5 + %i (e) >
■ J = cp2 (e) y5 + (e) + Z2 (e)
und auf e0 geeicht annehmen, so daß sie sich beim Übergange
zu ß0 auf y5 und z5 reduzieren.
ß Göschens Lehrbücherei, Bd. 19. Berlinu.Leipzig, W. de Gruyter&Co, 1931.
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G. Kowalewski
ausübt, wobei e0 in Ruhe bleibt, und dann durch (1) die Über-
führung in e bewirkt.
Denkt man sich jedes der Elemente e0 und e in bestimmtem
Sinne durchlaufen und verlangt, daß diese Orientierung die Trans-
formation mitmacht, so muß ctr ein bestimmtes Zeichen haben. Ein
orientiertes Kurvenelement vierter Ordnung mit der Eigenschaft
ß2 3:3 — 82 V3 > 0 ist also immer nur auf eine Weise affinäquivalent
mit dem orientierten Element e0. Die Affinität, welche e0 in e über-
führt, bezeichnen wir mit T . Ebenso existiert im Falle
üo
V2 3,3 32 ^3 < 0
eine und nur eine Affinität, die das orientierte Element e0 in das
orientierte Element e verwandelt. Ihr Symbol lautet 7-° . Sind
ferner und e2 zwei orientierte Kurvenelemente vierter Ordnung,
und hat beidemal ß2 g3 — §2 t)3 dasselbe Zeichen, so gibt es eine
und nur eine Affinität Tl'2, die e, in e9 überführt.
Wir werden uns im folgenden auf Kurvenelemente erster Art
beschränken und demgemäß mit dem Grund- oder Anfangs-
element e0 arbeiten. Es soll hier eine affingeometrische Unter-
suchung durchgeführt werden, die in meinem Buche „Vorlesungen
über Allgemeine natürliche Geometrie und LiEsche Transformations-
gruppen“ 9 nur teilweise erledigt ist. Zur Vorbereitung sei folgen-
des bemerkt.
Aus (3) läßt sich mit Rücksicht auf di = 11 dx entnehmen, daß
1
(4) ds = (y.> z3 — z2 ,z/3) 6 dx
das Bogen element unserer Gruppe ist, und zwar geeicht auf e0,
weil es sich beim Übergange zu e0 in dx verwandelt.
Wegen der ungeraden Parameterzahl der Affingruppe gibt es
bei einer Raumkurve zwei Differentialinvarianten fünfter Ordnung
/ und J, die inbezug auf y5 und z5 linear sind. Man kann diese
Invarianten, die sogenannten A f f i n k r ii m m u n g e n, in folgender
Form schreiben:
/5) U = (e) + Vi (e) z5 + %i (e) >
■ J = cp2 (e) y5 + (e) + Z2 (e)
und auf e0 geeicht annehmen, so daß sie sich beim Übergange
zu ß0 auf y5 und z5 reduzieren.
ß Göschens Lehrbücherei, Bd. 19. Berlinu.Leipzig, W. de Gruyter&Co, 1931.
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