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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0036
Über räumliche Affinzykloiden
Man hat hiermit die Transformation Tp° gewonnen. Durch Um-
wandlung von s in —s erhält man ihre Umkehrung Teeo. Die Kennt-
nis dieser Transformation genügt aber, um die Parameterdar-
stellung der betrachteten Bahnkurve hinzuschreiben:
(11) (x,z/,z) = (0,0,0) T®o.
Wenn wir zunächst a±=ß = 0 annehmen, also eine Kurve mit
verschwindenden Affinkrümmungen durch e0 hindurchlegen, so ist
das System
du du diu
ds ’ ds U’ ds U
von den Anfangswerten aus zu integrieren. Man findet
s2 s3 s2
(12) u = — s-\-x,u — ^2 Xs-\-i),iv=-6^^ 2
Das ist die Transformation Tp°. Ihre Umkehrung ergibt sich durch
Umwandlung von s in—s. Sie bringt den Anfangspunkt nach
einem Punkt x, y, z der gesuchten Bahnkurve, für die somit folgen-
de Gleichungen gelten:
(13) X = S,^=y,2=
Das ist also die durch e0 hindurchgehende Kurve mit verschwinden-
den Affinkrümmungen. Wir sehen hier, welche Stellung die Norm-
kurve in der Affingeometrie einnimmt.
Nun wollen wir den Fall a =/= 0, ß = 0 betrachten, also die
Krümmung J gleich Null, die Krümmung I konstant und ungleich
Null setzen. Dann ist das System
(14)
du . du diu
ds=-l+alV,-^^u,-ds--V
von den Anfangswerten X, V, 8 aus zu integrieren. Bezeichnet man
mit ar, a2, a3 die dritten Wurzeln von a, so lautet das Integrations-
ergebnis
u==yS(X —+ —a^1) e " ,
(15)
Ü==-^S(—+ —a3+ö!U2)e V >
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Man hat hiermit die Transformation Tp° gewonnen. Durch Um-
wandlung von s in —s erhält man ihre Umkehrung Teeo. Die Kennt-
nis dieser Transformation genügt aber, um die Parameterdar-
stellung der betrachteten Bahnkurve hinzuschreiben:
(11) (x,z/,z) = (0,0,0) T®o.
Wenn wir zunächst a±=ß = 0 annehmen, also eine Kurve mit
verschwindenden Affinkrümmungen durch e0 hindurchlegen, so ist
das System
du du diu
ds ’ ds U’ ds U
von den Anfangswerten aus zu integrieren. Man findet
s2 s3 s2
(12) u = — s-\-x,u — ^2 Xs-\-i),iv=-6^^ 2
Das ist die Transformation Tp°. Ihre Umkehrung ergibt sich durch
Umwandlung von s in—s. Sie bringt den Anfangspunkt nach
einem Punkt x, y, z der gesuchten Bahnkurve, für die somit folgen-
de Gleichungen gelten:
(13) X = S,^=y,2=
Das ist also die durch e0 hindurchgehende Kurve mit verschwinden-
den Affinkrümmungen. Wir sehen hier, welche Stellung die Norm-
kurve in der Affingeometrie einnimmt.
Nun wollen wir den Fall a =/= 0, ß = 0 betrachten, also die
Krümmung J gleich Null, die Krümmung I konstant und ungleich
Null setzen. Dann ist das System
(14)
du . du diu
ds=-l+alV,-^^u,-ds--V
von den Anfangswerten X, V, 8 aus zu integrieren. Bezeichnet man
mit ar, a2, a3 die dritten Wurzeln von a, so lautet das Integrations-
ergebnis
u==yS(X —+ —a^1) e " ,
(15)
Ü==-^S(—+ —a3+ö!U2)e V >
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