DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0049
12
M. Müller : Behandlung einer partiellen Differenzen¬
gewählt. Dann können wir Funktionen Vn(x,y) mit den Eigen-
schaften (19) und (20) leicht angeben und damit genauere Aus-
sagen über die Konvergenz des LiEBMANNSchen Verfahrens und
über die Lage des Spektrums gewinnen.
Wir setzen
(23) Vn(x,y)==f(n)w(x,y) (72 = 0,1,2,...),
wobei /(/2)>0 und in 93'* auch zp(x,z/)>0 sein soll; dann muß
nach (20) in 93'*, d. h. in den inneren Gitterpunkten des Rechteckes,
/(«) w(x,y) = af(n — 1) L[z2z(x,z/)]
oder
1 70) _z.[w(x,//)]_
« f (n — 1) w (x, z/)
d. h. bis auf einen, hier nicht benötigten, mod. 1 periodischen
Faktor
(24)
/(72) = (C a)n
und w (x, y) eine auf dem Rande des Reckteckes verschwindende,
im Innern desselben positive Lösung der Differenzengleichung
L [zp (x, z/)] — c w (x, y) = 0
sein. Bedeutet K eine positive Konstante, so ist, wie man leicht
nachrechnet,
(25)
w (x, z/) = K sin
n X
a
eine solche Lösung, wofern
r» [ nk } Jill] [ % , K
(26) c = 2 | cos — -J- cos = 2 pos - • - cos y
gesetzt wird.
Nunmehr können wir als weiteres Ergebnis formulieren:
Satz III. Läßt sich nach geeigneter Wahl des Koordinaten-
systemes der Bereich 93* -f- 9i* in das Rechteck
Q SL xSLa = sh, 0 y b — th
(s und t ganze rationale Zahlen sj>2, tjZ2)
einbetten, wird die Zahl c gemäß (26) bestimmt, und gibt es eine
zwischen 0 und 1 gelegene Zahl & derart, daß 2(x,y) in jedem
Punkt von 93* eine der beiden Ungleichungen.
36
M. Müller : Behandlung einer partiellen Differenzen¬
gewählt. Dann können wir Funktionen Vn(x,y) mit den Eigen-
schaften (19) und (20) leicht angeben und damit genauere Aus-
sagen über die Konvergenz des LiEBMANNSchen Verfahrens und
über die Lage des Spektrums gewinnen.
Wir setzen
(23) Vn(x,y)==f(n)w(x,y) (72 = 0,1,2,...),
wobei /(/2)>0 und in 93'* auch zp(x,z/)>0 sein soll; dann muß
nach (20) in 93'*, d. h. in den inneren Gitterpunkten des Rechteckes,
/(«) w(x,y) = af(n — 1) L[z2z(x,z/)]
oder
1 70) _z.[w(x,//)]_
« f (n — 1) w (x, z/)
d. h. bis auf einen, hier nicht benötigten, mod. 1 periodischen
Faktor
(24)
/(72) = (C a)n
und w (x, y) eine auf dem Rande des Reckteckes verschwindende,
im Innern desselben positive Lösung der Differenzengleichung
L [zp (x, z/)] — c w (x, y) = 0
sein. Bedeutet K eine positive Konstante, so ist, wie man leicht
nachrechnet,
(25)
w (x, z/) = K sin
n X
a
eine solche Lösung, wofern
r» [ nk } Jill] [ % , K
(26) c = 2 | cos — -J- cos = 2 pos - • - cos y
gesetzt wird.
Nunmehr können wir als weiteres Ergebnis formulieren:
Satz III. Läßt sich nach geeigneter Wahl des Koordinaten-
systemes der Bereich 93* -f- 9i* in das Rechteck
Q SL xSLa = sh, 0 y b — th
(s und t ganze rationale Zahlen sj>2, tjZ2)
einbetten, wird die Zahl c gemäß (26) bestimmt, und gibt es eine
zwischen 0 und 1 gelegene Zahl & derart, daß 2(x,y) in jedem
Punkt von 93* eine der beiden Ungleichungen.
36