Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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gleichung mittels des Liebmannschen Verfahrens

(27)

£* >

1 — 0

(28)

■ £*

(29)

b

1 und daher

befriedigt, so konvergiert das Liebmannsche Verfahren. Die Ab-
weichung der n-ten Näherungsfunktion von der Lösung der Rand-
wertaufgabe ist

wobei e* dieselbe Bedeutung hat wie in Satz I.
c
Ist insbesondere 2 (x, z/) = 0, so erfüllt die Zahl 0 = die erste
der Ungleichungen (27) und ist auch kleiner als 1 und größer
als 0; für die Potentialgleichung im Gitter kann also die erste
Randwertaufgabe stets mittels des LiEBMANNschen Verfahrens
gelöst werden. Dies haben auf anderen Wegen bereits die
Herren Liebmann, Wolf und Courant gezeigt.
Der Beweis für Satz III ergibt sich folgendermaßen: Nach (22)
und (27) kann 0 so gewählt werden, daß
1

ÄT- z /
n h . n h
c sm — sm ,
a b

• V "- T r •
in 7— > K sm
b ~ a
h21 s (x, zy) [
4 — /z2 2 (x, z/) |
also nach Nr. 1 auch Vn(x,zy) i |zztt(x,z/) für n
das LiEBMANNsche Verfahren konvergent. Schließlich ist

gewählt wird, nach (23), (24), (25), (29), (28), (14) und (13)
, 7 / x / X „ . nX . nU. . xdl . nh
|/0 (x, z/) = w (x, g) = K sm — sm fVK sm — sm
0/z2
=~=

_< _e.
4 — /z22(x, z/) ~a c
daher ist mit Rücksicht auf (23) und (24) die Reihe
OO CXD DO DO
V (*, /y) = w (x, zy) f (p) = w (x, z/) (c «)" = iv(x, zy) 0”
v=0 v=0 v=0 v=0
konvergent. Ferner ist, wenn
0/z2

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