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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0054
0. Perron : Explizite Lösung einer partiellen Differenzengleichung
4
§2. Die Eigenwerte.
Wir betrachten die partielle Differenzengleichung
(1) k f {2, = ctr f (2 — 1, —|- bx f (2 —|-1, ,w) -|- ö.2 f (2, — 1)—I- b2 f (2, 1)
(2=1,2,...,p — 1; ^ = 1,2,..., c/— 1).
Dabei sind k und die av,bv gegebene Koeffizienten, die beliebige
komplexe Zahlen sein dürfen; jedoch soll
(2) ay =j=- 0, br 0, «2 0, b2 0
sein. Speziell für av = bv = -^ ,k=l ergibt sich die in der Ein-
leitung erwähnte Gleichung. Wir denken uns die Randwerte
(3) f(2,0) = n,/(2, <?) = /, (2 = 1,2,..., p —1),
(4) f(0, = ö,„ /(p, ,a) = ö; (^= 1,2,..., 7- 1)
vorgeschrieben; alsdann ist (1) ein System von (p— l)(c/--l)
linearen inhomogenen Gleichungen mit ebensoviel Unbekannten
f(l, 1),/(1,2),... ,/(2,1),... ,/(p —1, Q—1).
Die Determinante ist augenscheinlich ein Polynom P(/r) vom
Grad (p — 1) (q—1):
(5)
Die Wurzeln von P(/r) nennen wir Eigenwerte; es gibt also
höchstens (p — 1)(q—1) verschiedene Eigenwerte. Dann ist klar,
daß das System (1) mit den Randbedingungen (3), (4) genau
eine Lösung hat, wenn k kein Eigenwert ist. Dagegen hat die
Gleichung (1) mit den Randbedingungen
(6) /(2,0) = 0,/(2,q) = 0 (2=l,2,...,p-l),
(7) /’(0,ia) = 0,/’(p,^)=0 (p=l,2,...,Q— 1)
dann und nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn k ein Eigen-
wert ist.
Im Folgenden treten die vier Quadratwurzeln
V «1 , V a2 b2, \ y , \
auf. Dabei ist es gleichgültig, welcher der beiden jeweils mög-
lichen Werte den ersten zwei Wurzeln zugeschrieben wird; aber
41
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§2. Die Eigenwerte.
Wir betrachten die partielle Differenzengleichung
(1) k f {2, = ctr f (2 — 1, —|- bx f (2 —|-1, ,w) -|- ö.2 f (2, — 1)—I- b2 f (2, 1)
(2=1,2,...,p — 1; ^ = 1,2,..., c/— 1).
Dabei sind k und die av,bv gegebene Koeffizienten, die beliebige
komplexe Zahlen sein dürfen; jedoch soll
(2) ay =j=- 0, br 0, «2 0, b2 0
sein. Speziell für av = bv = -^ ,k=l ergibt sich die in der Ein-
leitung erwähnte Gleichung. Wir denken uns die Randwerte
(3) f(2,0) = n,/(2, <?) = /, (2 = 1,2,..., p —1),
(4) f(0, = ö,„ /(p, ,a) = ö; (^= 1,2,..., 7- 1)
vorgeschrieben; alsdann ist (1) ein System von (p— l)(c/--l)
linearen inhomogenen Gleichungen mit ebensoviel Unbekannten
f(l, 1),/(1,2),... ,/(2,1),... ,/(p —1, Q—1).
Die Determinante ist augenscheinlich ein Polynom P(/r) vom
Grad (p — 1) (q—1):
(5)
Die Wurzeln von P(/r) nennen wir Eigenwerte; es gibt also
höchstens (p — 1)(q—1) verschiedene Eigenwerte. Dann ist klar,
daß das System (1) mit den Randbedingungen (3), (4) genau
eine Lösung hat, wenn k kein Eigenwert ist. Dagegen hat die
Gleichung (1) mit den Randbedingungen
(6) /(2,0) = 0,/(2,q) = 0 (2=l,2,...,p-l),
(7) /’(0,ia) = 0,/’(p,^)=0 (p=l,2,...,Q— 1)
dann und nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn k ein Eigen-
wert ist.
Im Folgenden treten die vier Quadratwurzeln
V «1 , V a2 b2, \ y , \
auf. Dabei ist es gleichgültig, welcher der beiden jeweils mög-
lichen Werte den ersten zwei Wurzeln zugeschrieben wird; aber
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