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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0055
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5 0. Perron : Explizite Lösung
die letzten zwei haben dann die Bedeutung
Wir zeigen jetzt, daß
P —1 Q —1
(8) P(k) = JJ II 2 V— — 2 V cz2 ö2 cos
Z = 1 771 — 1
ist, so daß die Eigenwerte die folgenden sind:
k = 2 ]z «j b. cos — -k 2 ]ö9 cos
k
b9 cos
g
(9)
(Z= 1,2,..., p — 1 ; 772 = 1,2,..., Q—l).
In der Tat verifiziert man sofort, daß, wenn k den Wert (9) hat,
der Ausdruck
a2 . Ain . (A in n
(10)
f (AzO
eine nichttriviale Lösung von (1) mit den Randbedingungen (6),
(7) darstellt. Somit sind die Werte (9) lauter Eigenwerte. Die
(p —1)(7—1) Werte (9) sind aber bei nicht spezialisierten ar,
blfa2,b2 sämtlich voneinander verschieden, und da es mehr
Eigenwerte nicht geben kann, sind das alle, und es gilt die For-
mel (8). Diese Formel muß dann natürlich erhalten bleiben, wenn
die a1,b1,a2,b2 nachträglich irgendwie spezialisiert werden; sie
gilt also allgemein.
§3. Lösung der homogenen Gleichung
bei vorgegebenen Randwerten.
Nunmehr sei k kein Eigenwert, so daß die Gleichung (1)
eine Lösung mit den vorgegebenen Randwerten (3), (4) hat. Um
diese zu finden, bemerken wir, daß der Ausdruck
(11)
für Z=l,2,...,p— 1 und für jedes der beiden Vorzeichen +
im Exponenten von stets eine Lösung von (1) darstellt, wenn
aus der quadratischen Gleichung
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5 0. Perron : Explizite Lösung
die letzten zwei haben dann die Bedeutung
Wir zeigen jetzt, daß
P —1 Q —1
(8) P(k) = JJ II 2 V— — 2 V cz2 ö2 cos
Z = 1 771 — 1
ist, so daß die Eigenwerte die folgenden sind:
k = 2 ]z «j b. cos — -k 2 ]ö9 cos
k
b9 cos
g
(9)
(Z= 1,2,..., p — 1 ; 772 = 1,2,..., Q—l).
In der Tat verifiziert man sofort, daß, wenn k den Wert (9) hat,
der Ausdruck
a2 . Ain . (A in n
(10)
f (AzO
eine nichttriviale Lösung von (1) mit den Randbedingungen (6),
(7) darstellt. Somit sind die Werte (9) lauter Eigenwerte. Die
(p —1)(7—1) Werte (9) sind aber bei nicht spezialisierten ar,
blfa2,b2 sämtlich voneinander verschieden, und da es mehr
Eigenwerte nicht geben kann, sind das alle, und es gilt die For-
mel (8). Diese Formel muß dann natürlich erhalten bleiben, wenn
die a1,b1,a2,b2 nachträglich irgendwie spezialisiert werden; sie
gilt also allgemein.
§3. Lösung der homogenen Gleichung
bei vorgegebenen Randwerten.
Nunmehr sei k kein Eigenwert, so daß die Gleichung (1)
eine Lösung mit den vorgegebenen Randwerten (3), (4) hat. Um
diese zu finden, bemerken wir, daß der Ausdruck
(11)
für Z=l,2,...,p— 1 und für jedes der beiden Vorzeichen +
im Exponenten von stets eine Lösung von (1) darstellt, wenn
aus der quadratischen Gleichung
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