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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0056
einer partiellen Differenzengleichung
6
(12) k = 2 ]/ cix br cos—~ H-#2 ^2 (£) "h )>
P
deren Wurzeln zueinander reziprok sind, bestimmt wird. Man
verifiziert das sofort durch Einsetzen in (1). Wenn die Gleichung
(12) die Wurzel £z=±l hat, welche dann eine Doppelwurzel
ist, so verifiziert man ebenso leicht, daß auch der Ausdruck
(11a) /■;(^,^) = ]Z|j sin — ■ (± 1)‘"
eine Lösung von (1) ist. Durch (11) mit der Ergänzung (11a)
sind im ganzen 2 p— 2 Lösungen von (1) gegeben, die noch
den 2 q — 2 Randbedingungen
(13) f(0,^) = 0J(p,^) = 0 (^ = l,2,...,c/-l)
genügen. Soll eine Lösung /(A^) von (1) außer diesen 2 q — 2
Randbedingungen noch die weiteren 2 p — 2 Randbedingungen
(3) erfüllen, wodurch sie eindeutig bestimmt ist, so liegt die
Vermutung nahe, daß sie sich aus den obigen 2 p — 2 speziellen
Lösungen linear zusammensetzen läßt. Das ist in der Tat der
Fall, und man kann die Koeffizienten der Linearkombination auf
Fouriersche Art bestimmen. Wir geben gleich das Resultat an,
das sich leicht verifizieren läßt; es ist der Ausdruck
(14)
wobei im Fall f, = i 1
(15)
L . ÄLn . pln
> sm sm
'2 P P
\1 . 21n . oln
> sm sm 5—
/=1 P P
zu setzen ist. In der Tat ist dieser Ausdruck eine Linearkom-
bination von Ausdrücken der Form (11) und (11a); er ist also
eine Lösung von (1) mit den Randbedingungen (13). Außerdem
reduziert er sich vermöge der Formeln
. Q l n
sin^— -
P
2 fürp = 2.,
0 für q =^= 2
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(12) k = 2 ]/ cix br cos—~ H-#2 ^2 (£) "h )>
P
deren Wurzeln zueinander reziprok sind, bestimmt wird. Man
verifiziert das sofort durch Einsetzen in (1). Wenn die Gleichung
(12) die Wurzel £z=±l hat, welche dann eine Doppelwurzel
ist, so verifiziert man ebenso leicht, daß auch der Ausdruck
(11a) /■;(^,^) = ]Z|j sin — ■ (± 1)‘"
eine Lösung von (1) ist. Durch (11) mit der Ergänzung (11a)
sind im ganzen 2 p— 2 Lösungen von (1) gegeben, die noch
den 2 q — 2 Randbedingungen
(13) f(0,^) = 0J(p,^) = 0 (^ = l,2,...,c/-l)
genügen. Soll eine Lösung /(A^) von (1) außer diesen 2 q — 2
Randbedingungen noch die weiteren 2 p — 2 Randbedingungen
(3) erfüllen, wodurch sie eindeutig bestimmt ist, so liegt die
Vermutung nahe, daß sie sich aus den obigen 2 p — 2 speziellen
Lösungen linear zusammensetzen läßt. Das ist in der Tat der
Fall, und man kann die Koeffizienten der Linearkombination auf
Fouriersche Art bestimmen. Wir geben gleich das Resultat an,
das sich leicht verifizieren läßt; es ist der Ausdruck
(14)
wobei im Fall f, = i 1
(15)
L . ÄLn . pln
> sm sm
'2 P P
\1 . 21n . oln
> sm sm 5—
/=1 P P
zu setzen ist. In der Tat ist dieser Ausdruck eine Linearkom-
bination von Ausdrücken der Form (11) und (11a); er ist also
eine Lösung von (1) mit den Randbedingungen (13). Außerdem
reduziert er sich vermöge der Formeln
. Q l n
sin^— -
P
2 fürp = 2.,
0 für q =^= 2
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