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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0057
7 0. Perron : Explizite Lösung
für = 0 bzw. p = q auf die vorgeschriebenen Randwerte /
bzw. Dabei ist zu beachten, daß die Brüche in (14), die im
Fall ^=±1 durch (15) erklärt sind, im übrigen stets einen von
Null verschiedenen Nenner haben, denn wenn eine von + 1
verschiedene (2 <?)-te Einheitswurzel wäre, also
2 m sr i
ti=e~ 2c/ ,
wo m eine der Zahlen 1,2,..., q—1, so wäre nach (12)
k = 2 | oq bt cos — 2 V a2 b9 cos —— >
p q
also /< ein Eigenwert, was ausgeschlossen war.
In ganz gleicher Weise läßt sich nun auch eine Lösung von
(1) angeben, die die Randbedingungen
(16) /(2,0) = 0, /U,7) = 0 (2=1,2,. ..,/J-l)
und außerdem die Randbedingungen (4) erfüllt. Durch Addition
dieser Lösung zur vorausgehenden ergibt sich dann diejenige
Lösung, die die Randbedingungen (3) und (4) erfüllt, in folgen-
der Gestalt:
(17) •;
Q-l
(7=1
I
(18)
(19)
P
zu setzen.
«2
&2
Q p—1
2 Shl
m =1
(i — n
— 2 q — 1
+ -
7
•m
Dabei ist durch die zu (12) analoge quadratische Gleichung
i , 2 / , Q l -1
Z , sin-sm —
z=i P P
p — 1
/?(2,/./.) = |- ]
" ß=i
p—2 2—p
-V-P
' m ' m
G G
_ 5--Q
}. - 2
rim
'm
k = 2 V a2 b2 cos + I (/, G (>/,„ + vm 0
bestimmt, und im Fall ^ = + 1 ist analog zu (15)
V — V
V -7?
'm ' m
p ~ P
V — V
'm 'm
— X—p q —1
• f^lTLn . am n
-1 /, sin — sm —
m=i <7 9
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für = 0 bzw. p = q auf die vorgeschriebenen Randwerte /
bzw. Dabei ist zu beachten, daß die Brüche in (14), die im
Fall ^=±1 durch (15) erklärt sind, im übrigen stets einen von
Null verschiedenen Nenner haben, denn wenn eine von + 1
verschiedene (2 <?)-te Einheitswurzel wäre, also
2 m sr i
ti=e~ 2c/ ,
wo m eine der Zahlen 1,2,..., q—1, so wäre nach (12)
k = 2 | oq bt cos — 2 V a2 b9 cos —— >
p q
also /< ein Eigenwert, was ausgeschlossen war.
In ganz gleicher Weise läßt sich nun auch eine Lösung von
(1) angeben, die die Randbedingungen
(16) /(2,0) = 0, /U,7) = 0 (2=1,2,. ..,/J-l)
und außerdem die Randbedingungen (4) erfüllt. Durch Addition
dieser Lösung zur vorausgehenden ergibt sich dann diejenige
Lösung, die die Randbedingungen (3) und (4) erfüllt, in folgen-
der Gestalt:
(17) •;
Q-l
(7=1
I
(18)
(19)
P
zu setzen.
«2
&2
Q p—1
2 Shl
m =1
(i — n
— 2 q — 1
+ -
7
•m
Dabei ist durch die zu (12) analoge quadratische Gleichung
i , 2 / , Q l -1
Z , sin-sm —
z=i P P
p — 1
/?(2,/./.) = |- ]
" ß=i
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-V-P
' m ' m
G G
_ 5--Q
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k = 2 V a2 b2 cos + I (/, G (>/,„ + vm 0
bestimmt, und im Fall ^ = + 1 ist analog zu (15)
V — V
V -7?
'm ' m
p ~ P
V — V
'm 'm
— X—p q —1
• f^lTLn . am n
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