Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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A. Rosenthal: Nichtexistenz von Kontinuen

immer wieder Ausnahmefälle auftreten. Für n 3 ergibt sich dies
daraus, daß keinesfalls s Punkte von Js auf g liegen dürfen. Für
n = 2 kann g mit Js s Punkte gemeinsam haben; aber in diesem
Falle müssten, um Schnittpunkte der bk untereinander zu vermeiden,
die Punkte Ah auf g in der Reihenfolge:
As—2 > As-4, • • •, A5, A3, Ai, As, A.2, A4, .. ., As—3, As—i
aufeinanderfolgen; dann ist aber für s>3 (s = 3 ist wegen15)
schon erledigt) die Verbindung von As-i mit As durch bs-\ nicht
möglich, ohne einen der vorhergehenden Bogen bk zu treffen.
Jedenfalls kann man also in y ein (/?—2)-dimensionales y
finden, so daß y den Punkt Ai (bzw. As ) enthält, während As
(bzw. Aj) und zwei aufeinanderfolgende Punkte Aj0, Aj0+i auf
derselben Seite von y liegen. Es gibt deshalb durch y eine (n—1)-
dimensionale Ebene >]*, die den Bogen bJo stützt. Man kann
daher 77 um y (auf zu) so weit in eine Lage £ drehen, bis zum ersten
Mal ein voller Bogen bk durch e in einem Punkte Px gestützt
wird; £ enthält außerdem den Punkt Ai (bzw. As) und noch
weitere s—3 Schnittpunkte von Js. Dabei ist zu beachten, daß,
wegen der Lage von As (bzw. Ai) auf der durch AJo,A7o-i aus-
gezeichneten Seite von y, in der Nähe von As (bzw. Ai) kein
Schnittpunkt verlorengehen kann. In e liegen wieder13) genau
s — 1 Punkte von Js .
3. Hilfsatz 2: Im gibt es zu jedem Jordanbogen Jn von der
Ordnung n eine (/?—P)-dimensionale Ebene e4), die Jn in einem
Punkte stützt und gleichzeitig berührt und in genau (n—2) weiteren
Punkten schneidet.
Beweis: Nur für n j> 2 ist überhaupt etwas zu überlegen.
Wie beim Beweis des Hilfsatzes 1 gehen wir von einer (/z—1)-
dimensionalen Ebene 77 aus, die Jn in genau n Punkten Ak
(/r=l, 2,...,/?; wieder entsprechend ihrer Anordnung auf Jn
nummeriert) schneidet, ohne daß einer von ihnen mit einem
Endpunkt zusammenfällt. Da 77 diese Eigenschaft bei hinreichend
geringer Parallelverschiebung behält und da, abgesehen von ab-
zählbar vielen Ecken und Spitzen, alle übrigen Punkte von Jn
eigentliche Tangenten16) besitzen17), so kann 77 so gewählt werden,
daß Jn in Ax eine eigentliche Tangente hat. Wir lassen nun,
bei festgehaltenen Ai; A3,..., A?i den Punkt A2 auf Jn gegen Ai
10) D. h. entgegengesetzte Halbtangenten.
17) A. Rosenthal, Math. Ann. 73 (1912), S. 503 u. 516- 517; J. f. Math.
167 (1931), S. 273 ; vergl. auch Marchaud u), S. 83 — 84.

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