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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0066
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in gewissen Mengen mit einziger Ordnungszahl
rücken und dabei y in eine Grenzlage £ übergehen, £ enthält tx
und stützt Jn in Ai [letzteres, weil y in jeder vor Erreichen von
e durchlaufenen Lage lauter Schnittpunkte enthält13)]. £ kann außer
den Punkten Ak (Ar = 1; 3,..., zz) keinen weiteren Punkt mit Jn
gemeinsam haben13). Von Ax abgesehen, müssen alle übrigen
Punkte Ak (k = 3,...,ri) Schnittpunkte von Jn mit £ sein. Ange-
nommen nämlich es wäre Ako der (in der natürlichen Nummerierung)
erste, auf Ax folgende Stützpunkt, so müßte der Teilbogen
(Afco, A^+i)18) von Ju auf verschiedenen Seiten von £ und einer
hinreichend benachbarten Hyperebene t] gelegen sein, was nicht
möglich ist.
4. Wie bereits in der Einleitung erwähnt, kann eine Menge
SIR,- für jedes z* j> 2 zz ein Kontinuum und sogar ein beliebig vor-
geschriebenes Kontinuum von (r—zz)-ter oder niedrigerer Ordnung
enthalten. Hingegen gilt für z,<j2zz—1 der
Satz 1.- Im Rn kann für n<O<J2n—1 kein mit einziger
Ordnungszahl r einen Jordanbogen Jn von n-ter Ordnung ent-
halten 19).
Beweis: Angenommen SIR,- enthielte einen Jordanbogen Jn.
Man lege £ nach Hilfsatz 2: Stütz- und Berührungspunkt At;
außerdem (zz—2) Schnittpunkte mit Jn.
a) Es sei zunächst n <Lr<±2 n—2. Dann sind noch r—n 1
weitere Punkte Q„ (p = 1,..., r —zz-j-1) von SIR,. in £ enthalten.
Durch diese Punkte Q,. lege man eine (zz—2)-dimensionale lineare
Mannigfaltigkeit G„_2 20). Wenn nun (Sn-2 den Punkt Ax nicht
enthält, dann kann man £ um S„_2 hinreichend wenig so in eine
neue Lage £* drehen, daß Jn von £* in der Nähe von Ar in
zwei Punkten Ax* und Ax** und deshalb insgesamt in zz Punkten
geschnitten wird. Dann hätte aber £* mit SIR,- r+l Punkte
gemeinsam, was unmöglich ist. — Wenn andererseits (£„2 den
Punkt Ai enthält, dann kann man eine (zz—l)-dimensionale, zu
£ benachbarte Ebene J durch (£„2 und einen auf Jn gelegenen,
zu Ai hinreichend benachbarten Punkt A/ legen, die Jn noch in
weiteren zz—2 Punkten schneidet, d enthält dann ebenfalls r -• 1
Punkte von SIR,-.
18) Ist /c0=zz, so verstehe man hierunter Ak„ +1 den (auf Aka folgenden)
Endpunkt von Jn.
(9) Wegen Nr. 1 bedeutet dies, daß ein solches 9Jb- überhaupt kein
Kontinuum zz-ter Ordnung enthalten kann.
J") Für n — 2 fällt @„—2 mit Qi zusammen.
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in gewissen Mengen mit einziger Ordnungszahl
rücken und dabei y in eine Grenzlage £ übergehen, £ enthält tx
und stützt Jn in Ai [letzteres, weil y in jeder vor Erreichen von
e durchlaufenen Lage lauter Schnittpunkte enthält13)]. £ kann außer
den Punkten Ak (Ar = 1; 3,..., zz) keinen weiteren Punkt mit Jn
gemeinsam haben13). Von Ax abgesehen, müssen alle übrigen
Punkte Ak (k = 3,...,ri) Schnittpunkte von Jn mit £ sein. Ange-
nommen nämlich es wäre Ako der (in der natürlichen Nummerierung)
erste, auf Ax folgende Stützpunkt, so müßte der Teilbogen
(Afco, A^+i)18) von Ju auf verschiedenen Seiten von £ und einer
hinreichend benachbarten Hyperebene t] gelegen sein, was nicht
möglich ist.
4. Wie bereits in der Einleitung erwähnt, kann eine Menge
SIR,- für jedes z* j> 2 zz ein Kontinuum und sogar ein beliebig vor-
geschriebenes Kontinuum von (r—zz)-ter oder niedrigerer Ordnung
enthalten. Hingegen gilt für z,<j2zz—1 der
Satz 1.- Im Rn kann für n<O<J2n—1 kein mit einziger
Ordnungszahl r einen Jordanbogen Jn von n-ter Ordnung ent-
halten 19).
Beweis: Angenommen SIR,- enthielte einen Jordanbogen Jn.
Man lege £ nach Hilfsatz 2: Stütz- und Berührungspunkt At;
außerdem (zz—2) Schnittpunkte mit Jn.
a) Es sei zunächst n <Lr<±2 n—2. Dann sind noch r—n 1
weitere Punkte Q„ (p = 1,..., r —zz-j-1) von SIR,. in £ enthalten.
Durch diese Punkte Q,. lege man eine (zz—2)-dimensionale lineare
Mannigfaltigkeit G„_2 20). Wenn nun (Sn-2 den Punkt Ax nicht
enthält, dann kann man £ um S„_2 hinreichend wenig so in eine
neue Lage £* drehen, daß Jn von £* in der Nähe von Ar in
zwei Punkten Ax* und Ax** und deshalb insgesamt in zz Punkten
geschnitten wird. Dann hätte aber £* mit SIR,- r+l Punkte
gemeinsam, was unmöglich ist. — Wenn andererseits (£„2 den
Punkt Ai enthält, dann kann man eine (zz—l)-dimensionale, zu
£ benachbarte Ebene J durch (£„2 und einen auf Jn gelegenen,
zu Ai hinreichend benachbarten Punkt A/ legen, die Jn noch in
weiteren zz—2 Punkten schneidet, d enthält dann ebenfalls r -• 1
Punkte von SIR,-.
18) Ist /c0=zz, so verstehe man hierunter Ak„ +1 den (auf Aka folgenden)
Endpunkt von Jn.
(9) Wegen Nr. 1 bedeutet dies, daß ein solches 9Jb- überhaupt kein
Kontinuum zz-ter Ordnung enthalten kann.
J") Für n — 2 fällt @„—2 mit Qi zusammen.
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