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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0067
A. Rosenthal: Nichtexistenz von Kontinuen
b) Nun sei r—2n—1. Außer den n—1 Punkten A3,...,
An liegen in s noch n weitere Punkte Q,. (p = 1,2,..., z?) von
9JÜ. Entweder diese Punkte Q>. befinden sich in spezieller Lage,
d. h. sie gehören alle einem (z?—2)-dimensionalen (Sn—2 an. Dann
kann man genau wie im Fall a) schließen. Oder die n Punkte
Q,. bilden die Ecken eines (n—l)-dimensionalen Simplex 1.
Es gibt dann zwei (z?—2)-dimensionale Seiten von Sn— 1, nämlich
(Sn_2 und (S"_2, die den (von allen Qv verschiedenen) Berührungs-
punkt nicht enthalten21). e wird durch (S„_2 und (S„_2 in
zwei (/?—l)-dimensionale Winkelbereiche s(1) und e(2) zerlegt
(von denen jeder durch Vereinigung von Winkel und Scheitel-
winkel entsteht)22). Dabei sei derjenige Winkelbereich, dem Ax
angehört, mit s(1) bezeichnet. Dreht man e um @,)_2 bzw. (S"_2
hinreichend wenig so in eine neue Lage £*, daß dabei Jn in
zwei Nachbarpunkten von At getroffen wird, so beschreibt dabei
s* zwei zz-dimensionale Winkelbereiche, die (einschließlich ihrer
Scheitelwinkel) mit ß' bzw. ß" bezeichnet werden. Jedes e* ent-
hält 72 Schnittpunkte von Jn und n—1 in &n_2 bzw. (S"_2 gelegene
Punkte Qv; deshalb können in ß' und ß” keine weiteren Punkte
von ^277-1 vorkommen. Durch den Durchschnitt = (S,';_2 • @"«-2
lege man eine sonst ganz im Innern von e(2) verlaufende (z?—2)-
dimensionale lineare Mannigfaltigkeit (Sn_2 23) und durch diese
eine zu e hinreichend benachbarte (z?—l)-dimensionale Ebene
e(0), die Jn in zwei Nachbarpunkten von At trifft, und die, ab-
gesehen von S(°)_2, ganz in ß'ß" verläuft. c(0) enthält dann,
außer den n Schnittpunkten mit und den n—2 in enthaltenen
Punkten Qv keine weiteren Punkte von W2n_1, im Widerspruch
zur Definition dieser Menge.
5. Zusatz: In Satz 1 darf man Jn durch einen Jordanbogen
+ i von (zz -j- l)-ter Ordnung ersetzen 24), weil stets 25) V? + i einen
Teilbogen zz-ter Ordnung enthält. Übrigens könnte man den auf
21) Für n = 2 fallen 2 und 2 mit (J bezw. Q2 zusammen.
22) Für n = 2 bedeuten A1) und A2) die Strecke Q1Q2 oder deren Ver-
längerungen.
23) Für n = 2 ist ® leer und bedeutet 2 einen Punkt auf der Ge-
raden e, der durch Qi, Q2 von Ar getrennt wird.
24) Natürlich dann rZnJl.
25) Nach O. Haupt, Math. Ann. 108 (1933), S. 126—142; für 11 = 2 bereits
Math. Ann. 92 (1924), S. 88-94; (für n = 2 vergl. auch A. Marchaud n),
S. 88-91],
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b) Nun sei r—2n—1. Außer den n—1 Punkten A3,...,
An liegen in s noch n weitere Punkte Q,. (p = 1,2,..., z?) von
9JÜ. Entweder diese Punkte Q>. befinden sich in spezieller Lage,
d. h. sie gehören alle einem (z?—2)-dimensionalen (Sn—2 an. Dann
kann man genau wie im Fall a) schließen. Oder die n Punkte
Q,. bilden die Ecken eines (n—l)-dimensionalen Simplex 1.
Es gibt dann zwei (z?—2)-dimensionale Seiten von Sn— 1, nämlich
(Sn_2 und (S"_2, die den (von allen Qv verschiedenen) Berührungs-
punkt nicht enthalten21). e wird durch (S„_2 und (S„_2 in
zwei (/?—l)-dimensionale Winkelbereiche s(1) und e(2) zerlegt
(von denen jeder durch Vereinigung von Winkel und Scheitel-
winkel entsteht)22). Dabei sei derjenige Winkelbereich, dem Ax
angehört, mit s(1) bezeichnet. Dreht man e um @,)_2 bzw. (S"_2
hinreichend wenig so in eine neue Lage £*, daß dabei Jn in
zwei Nachbarpunkten von At getroffen wird, so beschreibt dabei
s* zwei zz-dimensionale Winkelbereiche, die (einschließlich ihrer
Scheitelwinkel) mit ß' bzw. ß" bezeichnet werden. Jedes e* ent-
hält 72 Schnittpunkte von Jn und n—1 in &n_2 bzw. (S"_2 gelegene
Punkte Qv; deshalb können in ß' und ß” keine weiteren Punkte
von ^277-1 vorkommen. Durch den Durchschnitt = (S,';_2 • @"«-2
lege man eine sonst ganz im Innern von e(2) verlaufende (z?—2)-
dimensionale lineare Mannigfaltigkeit (Sn_2 23) und durch diese
eine zu e hinreichend benachbarte (z?—l)-dimensionale Ebene
e(0), die Jn in zwei Nachbarpunkten von At trifft, und die, ab-
gesehen von S(°)_2, ganz in ß'ß" verläuft. c(0) enthält dann,
außer den n Schnittpunkten mit und den n—2 in enthaltenen
Punkten Qv keine weiteren Punkte von W2n_1, im Widerspruch
zur Definition dieser Menge.
5. Zusatz: In Satz 1 darf man Jn durch einen Jordanbogen
+ i von (zz -j- l)-ter Ordnung ersetzen 24), weil stets 25) V? + i einen
Teilbogen zz-ter Ordnung enthält. Übrigens könnte man den auf
21) Für n = 2 fallen 2 und 2 mit (J bezw. Q2 zusammen.
22) Für n = 2 bedeuten A1) und A2) die Strecke Q1Q2 oder deren Ver-
längerungen.
23) Für n = 2 ist ® leer und bedeutet 2 einen Punkt auf der Ge-
raden e, der durch Qi, Q2 von Ar getrennt wird.
24) Natürlich dann rZnJl.
25) Nach O. Haupt, Math. Ann. 108 (1933), S. 126—142; für 11 = 2 bereits
Math. Ann. 92 (1924), S. 88-94; (für n = 2 vergl. auch A. Marchaud n),
S. 88-91],
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