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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0068
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in gewissen Mengen mit einziger Ordnungszahl
+ i bezüglichen Satz 1 für n i> 4 mittels einer geeigneten Ver-
allgemeinerung des Hilfssatzes 2 erhalten, während er sich für
n = 2 wie Satz 1 selbst ergibt und für n = 3 aus Satz 2 und 3
folgt.
6. Satz 2: Im Rn kann keine Menge mit einziger Ordnungs-
zahl r(>ri) einen Jordanbogen Jr von r-ter Ordnung enthalten.
Beweis: Angenommen SDb- enthielte einen solchen Bogen J,..
Dann kann man nach Hilfssatz 1 eine (/?—l)-dimensionale Ebene
e finden, die J,- in einem Punkte P\ stützt und in genau r—2
Punkten schneidet. In £ liegt dann noch ein weiterer Punkt Q von
Sfftr. Bei festgehaltenem Q kann man e so neigen, daß die neue
Lage e* in der Nähe von PY zwei Punkte mit Jr gemeinsam hat,
also insgesamt j—1 Punkte von'M-enthält, was unmöglich ist.
7. Satz 3: Im Rn kann keine Menge 5XR,- mit einziger Ordnungs-
zahl r (> ri) einen Jordanbogen Jr—\ von (r—l)-ter Ordnung
enthalten.
Beweis: Da der Fall n = 2, r = 3 durch Satz 1 bereits erledigt
ist, können wir hier für den Beweis ri>4 (und n i>3) voraussetzen.
Angenommen SOI,- enthielte einen Bogen Jr _i. Dann lege man
wieder nach Hilfsatz 1 eine (n—1)-dimensionale Ebene s, die
Jr_i in A stützt und in r—3 Punkten Pv (v = 2,..., r—2)
schneidet. In e liegen noch zwei weitere Punkte Qx und Q., von
Sfftr. Die Gerade Qr Q2 sei mit g bezeichnet.
a) g geht nicht durch Pr. Dann kann man e bei festgehalte-
nem g in eine neue Lage e* so drehen, daß £* in der Nähe von
Pr zwei Punkte mit J,—i gemeinsam hat. Also lägen in e* r-|-l
Punkte von W, was unmöglich ist.
b) g enthält Px. Dann muß es mindestens einen Punkt Pv geben
(wir nennen ihn P2), der nicht auf g liegt; denn andernfalls ent-
hielte g r Punkte von Wz-, was für z?4> 3 nicht möglich ist. Durch
die Geraden R Qx und P., Q2 lege man in £ zwei voneinander
verschiedene, (n—2)-dimensionale Ebenen G„_2 bezw. @"_2, die
Pr nicht enthalten. Man kann dann wie im Teil b) des Beweises
von Satz 1 den Schluß zu Ende führen und kommt zum Wider-
spruch, daß eine (n—l)-dimensionale Ebene £(0) nur r—1 Punkte
von enthielte.
8. Auf Grund der vorstehenden Sätze ist die Nichtexistenz
eines Teilkontinuums bewiesen:
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in gewissen Mengen mit einziger Ordnungszahl
+ i bezüglichen Satz 1 für n i> 4 mittels einer geeigneten Ver-
allgemeinerung des Hilfssatzes 2 erhalten, während er sich für
n = 2 wie Satz 1 selbst ergibt und für n = 3 aus Satz 2 und 3
folgt.
6. Satz 2: Im Rn kann keine Menge mit einziger Ordnungs-
zahl r(>ri) einen Jordanbogen Jr von r-ter Ordnung enthalten.
Beweis: Angenommen SDb- enthielte einen solchen Bogen J,..
Dann kann man nach Hilfssatz 1 eine (/?—l)-dimensionale Ebene
e finden, die J,- in einem Punkte P\ stützt und in genau r—2
Punkten schneidet. In £ liegt dann noch ein weiterer Punkt Q von
Sfftr. Bei festgehaltenem Q kann man e so neigen, daß die neue
Lage e* in der Nähe von PY zwei Punkte mit Jr gemeinsam hat,
also insgesamt j—1 Punkte von'M-enthält, was unmöglich ist.
7. Satz 3: Im Rn kann keine Menge 5XR,- mit einziger Ordnungs-
zahl r (> ri) einen Jordanbogen Jr—\ von (r—l)-ter Ordnung
enthalten.
Beweis: Da der Fall n = 2, r = 3 durch Satz 1 bereits erledigt
ist, können wir hier für den Beweis ri>4 (und n i>3) voraussetzen.
Angenommen SOI,- enthielte einen Bogen Jr _i. Dann lege man
wieder nach Hilfsatz 1 eine (n—1)-dimensionale Ebene s, die
Jr_i in A stützt und in r—3 Punkten Pv (v = 2,..., r—2)
schneidet. In e liegen noch zwei weitere Punkte Qx und Q., von
Sfftr. Die Gerade Qr Q2 sei mit g bezeichnet.
a) g geht nicht durch Pr. Dann kann man e bei festgehalte-
nem g in eine neue Lage e* so drehen, daß £* in der Nähe von
Pr zwei Punkte mit J,—i gemeinsam hat. Also lägen in e* r-|-l
Punkte von W, was unmöglich ist.
b) g enthält Px. Dann muß es mindestens einen Punkt Pv geben
(wir nennen ihn P2), der nicht auf g liegt; denn andernfalls ent-
hielte g r Punkte von Wz-, was für z?4> 3 nicht möglich ist. Durch
die Geraden R Qx und P., Q2 lege man in £ zwei voneinander
verschiedene, (n—2)-dimensionale Ebenen G„_2 bezw. @"_2, die
Pr nicht enthalten. Man kann dann wie im Teil b) des Beweises
von Satz 1 den Schluß zu Ende führen und kommt zum Wider-
spruch, daß eine (n—l)-dimensionale Ebene £(0) nur r—1 Punkte
von enthielte.
8. Auf Grund der vorstehenden Sätze ist die Nichtexistenz
eines Teilkontinuums bewiesen:
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