Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Eine kennzeichnende Eigenschaft des Kreises
einbeschrieben. Einem jeden dieser Trapeze läßt sich ein Kreis
umschreiben, dessen Mittelpunkt Mi der Schnittpunkt der Mittel-
lote von P/Pz+i, Q/Q/+1, Pi Qi, Pi+iQi+i ist. Er ist also be-
bereits bestimmt, wenn man auf den Schlußsehnen P, Qi und
Pi+i Qi+i in ihren Mittelpunkten Ni und 7V,+i die Lote errichtet.
Dabei ist die Verbindungslinie Ni Ni+i die Mittellinie des Trapezes,
also der Grundlinie Pi Q'i+i parallel. Der Ort der Mittelpunkte
Mi ist also der durch die Mittellote der Schlußlinien Pi Qi be-
stimmte gebrochene Linienzug.
Geht man zur Grenze über, so gehen die Umkreise der
Trapeze in eine Schar die Kurve c in den Endpunkten einer
Sehne konstanter Länge 2 d doppelt berührender Kreise über,
die Punkte M erfüllen eine Kurve, die Punkte N liegen auf einer
Evolute der Kurve, und entsprechende Punkte P und Q liegen
auf der Tangente von N, und zwar vom Berührungspunkt gleich-
weit entfernt.
Ist der Ort der Punkte P und Q eine Eilinie c, so umhüllt
der Mittelpunkt der Sehne PN eine geschlossene Kurve, deren
Tangentenrichtung durch die Grenzlage der Sehne Ni Nt+\ immer
dann eindeutig bestimmt ist, und die daher in demselben Sinne
durchlaufen wird wie die Kurve c, wenn nicht das Trapez
Pi Pjj^i Qi Qi+i in ein Rechteck ausartet. In diesem Falle geht
beim Grenzübergang der Punkt N in eine Spitze seiner Ortskurve
über, und zugleich werden die Tangenten in den Endpunkten
der Sehne PQ einander parallel und stehen auf PQ senkrecht;
sie bilden also zwei parallele Stützlinien der Eilinie c. Ist nun
der Bogen PQ kleiner als der halbe Umfang der Eilinie, das
Flächenstück zwischen ihm und der Sehne demnach kleiner als
der halbe Inhalt des Eibereichs c, so könnte man auf dem
Ergänzungsbogen zwei Punkte P' und Q' derart bestimmen, daß
der Bogen P' Q' gleich dem Bogen PQ wird und außerdem die
Sehne P' Q' parallel zu PQ. Dann ist aber offenbar P' Q' < PQ;
die Kurve (N) kann daher nur dann eine Spitze aufweisen, wenn
PQ den Umfang hälftet. Daß dieser Ausnahmefall in der Tat
auftreten kann, zeigt das Beispiel der Steinerschen dreispitzigen
Hypozykloide: Trägt man auf ihren Tangenten nach beiden Seiten
die Strecke d ab, so erhält man eine Kurve c, die, wenn d im
Verhältnis zum Radius des rollenden Kreises groß genug ist, eine
Eilinie darstellt. Man überzeugt sich leicht davon, daß jede Tan-

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