Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Vertauschungsaxiome Vi und V2 8
über12) derart, daß zwei der PW (i = 1, 2, 3) wechselseitig in-
einander übergehen, während der dritte PW fest bleibt, oder in
sich übergeht13). — Das Ergebnis ist von der Reihenfolge der
Ausübung unabhängig 14). Geschrieben:
<Z>£n) lw,2e4 und 0(ni) 4^2, 5^1 : P(i0)=pS0), P^^P^,
<Z^n) 3o5,2^6 und 0<u) 6^2, 5^3 : P?=P?, P^.P?,
02[) 1<^3, 4«h>6 und (Pg) 6«->4, 3^->l : P30)=P30), Pi0)2Z P20).
Beweis: Er werde für die v4IIl! geführt. (Für die beiden an-
deren ist er analog).
(12)X(45) = pP’, (23)X(56) = PP’, (34)X(61) = pP’ (p0)
<V?-. (52)X(41) J, (23)X(16) J. (34)X(65) J,
0(i6’: (54)X(21) = Pi“’, (43)X(16) = pP’, (32)X(65) = pP’ (p„)

Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. Der zweite,
wonach das Ergebnis von der Reihenfolge der Ausübung unab-
hängig ist — man könnte dafür sagen: „Die identische Vertau-
schungsgruppe ist kommutativ“ — erledigt sich, wenn wir uns
der Einfachheit halber beim Beweis auf die 02(m) beschränken,
analog wie oben, nämlich:
(12)X(45) = P'10), (23)X(56) = pP’, (34)X(61) = pP) (p„)
A”: (14)X(25) J, (43)X(56) J, (32)X(61) |
®(i3’: (54)X(21) = Pi0), (43)X(16) = pP’, (32)X(65) = pP’ (p„)

q. e. d.
Mit diesem und den vorigen Sätzen, die alle unmittelbar aus
(*)—(****), aiso aus j j 2> i. 9* Lmc[ vt gefolgert sind, be-
12) Damit geht natürlich auch P. A. p0 in sich über, doch ist dieser
Übergang in sich von dem in R2 bewiesenen verschieden in der folgenden
Weise: Bei R2 gehen die vier von nicht erfaßten der sechs Punkte
1, 2, 3, 4, 5, 6 in sich über, wie auch jeder der Pi(0) (i = 1, 2, 3) fest
bleibt. Bei R.t dagegen gehen nur die zwei der von und ihrer identisch
entsprechenden nicht erfaßten der sechs Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 in
sich über, und es bleibt nur einer der P/0' fest, während die beiden
anderen ihre Rollen wechseln.
13) Dies habe ich schon teilweise in meiner Diss. (a. a. O.3) S. 34 —38),
allerdings vom Raume her, erkannt und dort als „Einzelinvarianz“ gegen-
über der „Totalinvarianz“ (von R2) bezeichnet.
w) Entsprechend11) bezeichnen wir die Vertauschungsfolge, die durch
Umkehr der Reihenfolge der in hervorgeht, als <Z>2(Z).

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