Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über nicht-Archimedisch geordnete Körper.

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IV. Ist K durch II (TQ geordnet, so ist ein beliebiger Unterkörper
KQ von K durch den Durchschnitt II { Kf) von Ko und II (K)
mit K übereinstimmend geordnet.
Versteht man unter dem Quadratbereich E (K) von K das
System aller Summen von 0 verschiedener Quadrate in K, so ist in E
auch III und III a erfüllt; da

n
n m n m 1 / $. \ 2
E aß • N bß = E 2 ■ bßß und —-= / n ’ \ ist.
>=i i=i j = n = i 2 2 j=1\ E aß
3 = 1 v= 1 '
Satz 1: 1. In jedem möglichen II (K) ist E (K) enthalten.
2. Also ist Ksicher nicht ordnungsfähig, wenn E(K) die 0 enthält.
3. K ist einer und nur einer Ordnung fähig, tvenn E (Kj
I und II erfüllt.
Ist nämlich a 4= 0 irgendein Element von K, so ist wegen II und
IIa von den Elementen a und—a genau eines in TZ enthalten; wegen
III ist also auch (-a)2 = a2 in ZT enthalten.
Satz 2: Dann und nur dann läßt sich wenigstens ein einer einzigen
Ordnung fähiger Körper Ko angeben, der K enthält, wenn
(F) E (TT) die Null nicht enthält!}
A. Die Notwendigkeit der Bedingung (F) folgt aus Satz 1,2 und IV.
B. Hilfssatz: Erfülle ein Körper K die Bedingung (Ff, sei a 4= 0
ein Element derart, daß — a nicht in E (K) enthalten ist, und b ein
Element aus A, aber nicht aus K, das der Gl. b2 — a = 0 genügt.
Dann erfüllt auch K (b) die Bedingung (F).
Wäre der H.-S. falsch, so gäbe es eine Summe
n
E (ajFhbj}2 = 0,
j=i
wo die ttj, bj Elemente aus K sind. Also wäre:
n n n
E aß -\-2b 2 aj bj-\- a E bß = 0.
3 = 1 3=1 3 = 1
n
Hier muß E bj = 0 sein, da sonst b Element von K wäre; wäre
3=1
n
weiter E bß I 0, so wäre — a Element von E (K}, was n. V. unmög-
3 = 1
lieh ist.
n n
Also wäre E bß — 0 und notwendig auch E aß — 0 im Wider-
3=1 3=1

cf. A.-S. Satz 7b p. 91.