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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0007
Über nicht-Archimedisch geordnete Körper.
7
Ist nämlich a ein Element, das nicht in E (K) vorkommt, so
haben wir bei der Konstruktion von KG nur a1 = — a zu wählen, was
wegen des H.-S. möglich ist, um zu zeigen, daß es ein II (A) gibt, in
dem a nicht vorkommt.
Zusatz 4: Ein größter in A enthaltener Ordnung s fähig er Körper K
ist nur einer einzigen Ordnung fähig; alle seine positiven
Elemente sind Quadrate!)
Dies folgt aus Satz 2 und dem H.-S.
Zusatz 5: Ein Isomorphismus des in Satz 2 konstruierten Körpers KQ
ist der identische, wenn er für K der identische ist.2)
Zunächst sieht man, daß bei allen Isomorphismen von Ko die
Ordnung von Ko erhalten bleibt, da E (Ko) in sich übergehen muß;
weiter gilt aber unter den Voraussetzungen des H.-S.: ein Isomor-
phismus, der für K der identische ist, und bei dem die Ordnung von
K (&) erhalten bleibt, ist auch für K (b) der identische. Denn b kann
nur in sich übergehen. Hieraus folgt aber der Zusatz 5.
Sei jetzt K ein irgendwie geordneter Körper, a ein Element aus K.
Wie üblich, verstehen wir unter | a \ das nicht negative der beiden Ele-
mente a und — a.3)
Sei weiter P irgendein Unterkörper von K; ein Element n aus K
heiße hinsichtlich P.unendlich klein4) [unendlich groß],
wenn für jedes rf> 0 aus P auch [ n | <fr [ n | j> r] erfüllt ist. Man
sieht, daß 1/n unendlich groß ist, wenn n f 0 unendlich klein ist und
umgekehrt.
K heißt hinsichtlich PArchimedisch4), wenn es keine von
Null verschiedenen unendlich kleinen Elemente in K gibt.
Sei jetzt N= N(P) das System der unendlich kleinen, lfN= 1/N(P)
das der unendlich großen Elemente von K Dann gilt:
1. mit und n2 ist auch w^-n^ Element von N5),
2. ist a Element aus K, aber nicht aus 1/N, so ist mit n auch a • n
in N enthalten5),
3. es gibt Körper in K (z. B. P), die mit N die Null und nur die
Null gemein haben.5)
Das System jf der zwar in K, aber nicht in 1/N enthaltenen Ele-
mente bildet einen Ring; in ß ist N Primideal; weiter bildet das
System der Restklassen mod N einen Körper5), dem durch die Ord-
nung von K eine bestimmte Ordnung aufgezwungen wird.
b cf. A.-S. Satz 1 p. 87. 2) cf. A.-S. Satz 8 p. 93.
3) cf. A.-S. p. 86. b cf. A.-S. p. 94. b cf. A.-S. p. 95.
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Ist nämlich a ein Element, das nicht in E (K) vorkommt, so
haben wir bei der Konstruktion von KG nur a1 = — a zu wählen, was
wegen des H.-S. möglich ist, um zu zeigen, daß es ein II (A) gibt, in
dem a nicht vorkommt.
Zusatz 4: Ein größter in A enthaltener Ordnung s fähig er Körper K
ist nur einer einzigen Ordnung fähig; alle seine positiven
Elemente sind Quadrate!)
Dies folgt aus Satz 2 und dem H.-S.
Zusatz 5: Ein Isomorphismus des in Satz 2 konstruierten Körpers KQ
ist der identische, wenn er für K der identische ist.2)
Zunächst sieht man, daß bei allen Isomorphismen von Ko die
Ordnung von Ko erhalten bleibt, da E (Ko) in sich übergehen muß;
weiter gilt aber unter den Voraussetzungen des H.-S.: ein Isomor-
phismus, der für K der identische ist, und bei dem die Ordnung von
K (&) erhalten bleibt, ist auch für K (b) der identische. Denn b kann
nur in sich übergehen. Hieraus folgt aber der Zusatz 5.
Sei jetzt K ein irgendwie geordneter Körper, a ein Element aus K.
Wie üblich, verstehen wir unter | a \ das nicht negative der beiden Ele-
mente a und — a.3)
Sei weiter P irgendein Unterkörper von K; ein Element n aus K
heiße hinsichtlich P.unendlich klein4) [unendlich groß],
wenn für jedes rf> 0 aus P auch [ n | <fr [ n | j> r] erfüllt ist. Man
sieht, daß 1/n unendlich groß ist, wenn n f 0 unendlich klein ist und
umgekehrt.
K heißt hinsichtlich PArchimedisch4), wenn es keine von
Null verschiedenen unendlich kleinen Elemente in K gibt.
Sei jetzt N= N(P) das System der unendlich kleinen, lfN= 1/N(P)
das der unendlich großen Elemente von K Dann gilt:
1. mit und n2 ist auch w^-n^ Element von N5),
2. ist a Element aus K, aber nicht aus 1/N, so ist mit n auch a • n
in N enthalten5),
3. es gibt Körper in K (z. B. P), die mit N die Null und nur die
Null gemein haben.5)
Das System jf der zwar in K, aber nicht in 1/N enthaltenen Ele-
mente bildet einen Ring; in ß ist N Primideal; weiter bildet das
System der Restklassen mod N einen Körper5), dem durch die Ord-
nung von K eine bestimmte Ordnung aufgezwungen wird.
b cf. A.-S. Satz 1 p. 87. 2) cf. A.-S. Satz 8 p. 93.
3) cf. A.-S. p. 86. b cf. A.-S. p. 94. b cf. A.-S. p. 95.