Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

§ 2. Restklassenkörper und Wachstumsordnung.
Sei K ein Körper der Charakteristik 0.
Unter einer Nullklasse N von K verstehen wir ein Elementesystem
aus K, das folgenden Postulaten genügt:
Nr Mit dem Primkörper PQ von K hat N die Null und nur die
Null gemein;
N2. Mit a nnd b ist auch a — b Element von N;
N3. Ist a Element von N, Ifb aber nicht, so ist auch a • b Element
von N.
Man sieht, daß die Systeme von unendlich kleinen Elementen in
geordneten Körpern auch diesen Postulaten genügen.1)
Aus Np N2 und N3 folgt:
N4. In N ist mit a auch — a, mit a und b auch a-\-b enthalten;
ist a-b Element von N, aber b nicht, so ist auch a Element
von N.
Wir bilden jetzt Klassen nach N, indem wir
Kx unter IjN das System aller Elemente a aus K verstehen, für
die 1/a Element von N ist;
K2 zwei nicht in 1|N enthaltene Elemente a, b dann und nur dann
zur g eichen Klasse rechnen, wenn a — b Element von N ist.
Es is. dies die übliche Restklassenbildung in dem Ring der
durch Fortlassen der Elemente von 1/N aus K entsteht, nach einem
Primideal N. Wie üblich, folgt:
K3. Pas System KfN der von UN verschiedenen Klassen nach N
ist ein Körper, tvobei Summe, Produkt usw. von Klassen durch
die entsprechende Operation mit den Elementen der Klassen
definiert sind.
Die sogenannte „Wachstumsordnung“ setzt noch nicht die Ord-
nung des Körpers voraus; für sie ist nur die Festsetzung „unendlich
groß“ (nämlich Zugehörigkeit zu 1/N) und „unendlich klein“ (nämlich
Zugehörigkeit zu N) nötig.
Wir ordnen also jedem Element a±0 von K einen Rang2)
R(K) = Rv(a) hinsichtlich N zu:
Rx dann und mir dann ist Pfaf = B(b), wenn weder zu N noch
zu 1|N gehört.
b
R2 B(lf wenn — in N enthalten ist.
x) cf. p. 7 des § 1.
2) cf. H. Hahn: Sitz.-Ber. Wiener Akad.; Math.-nat. Klasse, Bd. 116, Abt. II a.
März 1907 bes. p. 607. Unserem „Rang“ entspricht dort die „Höhe“.