Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

= mit -
eine Gl. dieser Eigenschaft, da R(ayfaf) = JR(ay) — T?^) < 0 ist. Wir
können also in (1) für jedes ar die Klasse Ay von K)N eintreten lassen,
V
der «y angehört, und erhalten wegen K3: (2) A2 — 0 = N im Wider-
7 = 1
sprach mit (F\ wenn nicht Ay = 0 = N für alle / erfüllt ist.
B. Widerspricht umgekehrt Gl. (2) der Bedingung (F), d. h. ist K
nicht nach N ordnungsfähig, so ergibt sich aus (2) eine Gl. der
Form (1), wenn wir die Klasse Ay durch ein beliebiges ihrer Elemente
ersetzen.
Satz 4: 1. Ist K nach N ordnungsfähig, so ist K selbst ordnungsfähig;
2. liegt KfN in einer bestimmten Ordnung vor, so gibt es eine
mit der Ordnung von KIN übereinstimmende Ordnung von K.
ad 1: Angenommen, es gäbe eine (F) widersprechende Gl.:
V
Z ay2 = 0; wegen Satz 1 gilt 0 für y — 1, v; da es sich
7 = 1
um endlich viele Elemente handelt, gibt es unter den ay wenigstens
eines höchsten Ranges; sei dies etwa av d. h. R(ax) > 7?(av) für alle y;
es gilt 1 + f — ) = 0 mit R f — A = R(ay) — < 0, aber
\ai/
R(l) = 0 wegen Ra und im Widerspruch mit Satz 3.
ad 2: Wir haben festzulegen, welche Elemente von K positiv
sein sollen:
1. n0 = Z(Ky,
2. 77x entstehe aus 770 durch Adjunktionr) aller der Elemente
von 77, die in positiven Klassen von K\N enthalten sind;
3. sei v 1 keine Limeszahl und JIj,^ bereits konstruiert; sei av
das in einer — willkürlich, aber fest zu wählenden — Wohlordnung
von 77 erste Element derart, daß weder av noch — av bereits in
IIv-\ enthalten ist; 7IJr = 7TJ,_1(ar);
4. ist v Limeszahl und IIi für alle w<f v bereits gebildet, so
ist 77r die Vereinigungsmenge aller Hu mit /z <V
5. Der Prozeß ist für das erste o derart abzubrechen, daß 3. nicht
mehr auf 77ö anwendbar ist.
0 Hierunter sei Bildung des Bereichs zu verstehen, der durch Summen-,
Produkt- und Quotientenbildung aus dem alten bei Hinzufügung der neuen Ele-
mente entsteht.