Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über nicht-Archimedisch geordnete Körper. 13
Offenbar folgt aus (a) unser Satz. Wir zeigen zunächst:
(b) Sei A ein geordneter Körper, Ao ein Unterkörper von A; ist
a 4= 0 in Hinsicht auf Ao unendlich klein, so ist a in Hinsicht
auf Aq transzendent.1)
n
Wäre a algebraisch, genügte also der Gl. 2 a.j a? = 0 (1), die eine
?=o
Gl. niedersten Grades mit Koeffizienten aus Ao sei, der a genügt, so
n
väre auch 2 a^ai in Hinsicht auf Ao unendlich klein, da es ja a ist;
y = i
also müßte auch a0 hinsichtlich Ao unendlich klein sein, d. h. a0 = 0;
da a f 0 ist, ergibt sich also eine Gl. vom Grade <w—1 im Wider-
spruch mit unserer Annahme.
(c) Sei N eine Nullklasse des Körpers A und Ad ein größter Re-
präsentantenkörper von A/N; ist dann Ao der durch Ao repräsen-
tierte Unterkörper von A/N, so sind die Elemente von A/N in
Hinsicht auf Ao algebraisch.x)
Sei nämlich T in Hinsicht auf Ao transzendent, t ein beliebiges
Element aus T, das dann notwendig auch in Hinsicht auf Ao tran-
szendent ist. Um (c) zu beweisen, habe ich nur zu zeigen:
J.o(^) ist ebenfalls Repräsentantenkörper von A\N.
Sei also n ein Element von AQ(t), das in N enthalten ist; o. B. d. A. können
wir annehmen, daß n — A/ UjU, wo die Uj Elemente aus Ao sind. Dem
7=0
V
entspricht eine Gl. zwischen Klassen von A/N, nämlich: N= 0 = N B? Tf
wo Bj die von «• repräsentierte Klasse aus Ao ist. Da aber T in
Hinsicht auf Ao transzendent ist, so müssen alle Bj = N = 0 sein, d. h.
auch alle aj = 0, da Ao Repräsentantenkörper ist. Also ist n = 0, wo-
mit unsere Behauptung und damit (c) erwiesen ist.
Aus (b) und (c) folgt aber (a), da wegen 1. und 2. (c) auf P an-
wendbar ist.

cf. A.-S. p. 95.