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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0018
18
Keinhold Baer:
VIII. Zwei Elemente aus A haben dann und nur dann die gleiche
Ableitung, wenn sie zur gleichen Klasse nach K gehören; das
System A\K der Klassen nach K bildet eine additive Gruppe,
wobei Klassenaddition durch Elementaddition und K als Ein-
heitselement (0) der Addition bestimmt ist.
Dies folgt aus I und daraus, daß: (a1 -f- q) + (a2 + c2) = (ax + a2)
+ (ci V c2) unc* mit ci (i = 2) auch q + c2 Element von K ist.
IX. Die Klassen nach K, die integrable Elemente enthalten, ent-
halten sämtlich entweder genau ein integrables Element oder
sämtlich nur integrable Elemente, und zwar je nachdem ob
1 nichtintegrabel ist, oder ob es ein Element e gibt, so daß
e' = 1 ist.
A. Gibt es nämlich ein e in A, so daß e'= 1 ist, und ist a' irgend-
ein integrables Element, so ist a + c, wo c ein beliebiges Element aus
K ist, integrabel, da (« + ce)' = a-f c ist.
B. Sind a' und a c gleichzeitig integrabel, wo c I 0 ein Element
aus K ist, so gibt es ein b, so daß ist; dann ist aber
c = b'— a = (b — a)' oder 1 = f ) = e' wegen II a und IV.
§ 2. Die einfachen Erweiterungen.
Da es in differentiierbaren Funktionenkörpern1) der Charakteristik
p 0 keine in Hinsicht auf den Konstantenkörper2) transzendenten Ele-
mente gibt, so wird folgende Bezeichnung berechtigt:
ist A ein DK, K sein CK, so heißt ein Element a in Hinsicht auf A
bztv. K quasitranszendent, wenn es
im Falle p = 0 transzendent ist,
im Falle pih der in A bzw. K irreduziblen Gl. — c = 0 genügt,
wo c ein Element aus K ist.3) Sonst und nur sonst werden wir das
Element a algebraisch nennen.
Diese letzte Definition findet ihre Berechtigung in der folgenden
Aussage:
VI a. ist p 4= 0, so ist jedes Element eines A bzw. K umfassenden
DK, das in Hinsicht auf A bzw. K einer Gl. vom Grade S^p-A
genügt, bereits in K enthalten; d. h. es ist entweder quasi-
transscendent oder im Ausgangs-CK enthalten.
D DK = differentiierbarer Funktionenkörper.
2) CK = Konstantenkörper.
3) Dies sind — in Steinitz scher Terminologie —Wurzelelemente cf. Steinitz
1. c. p. 229.
Keinhold Baer:
VIII. Zwei Elemente aus A haben dann und nur dann die gleiche
Ableitung, wenn sie zur gleichen Klasse nach K gehören; das
System A\K der Klassen nach K bildet eine additive Gruppe,
wobei Klassenaddition durch Elementaddition und K als Ein-
heitselement (0) der Addition bestimmt ist.
Dies folgt aus I und daraus, daß: (a1 -f- q) + (a2 + c2) = (ax + a2)
+ (ci V c2) unc* mit ci (i = 2) auch q + c2 Element von K ist.
IX. Die Klassen nach K, die integrable Elemente enthalten, ent-
halten sämtlich entweder genau ein integrables Element oder
sämtlich nur integrable Elemente, und zwar je nachdem ob
1 nichtintegrabel ist, oder ob es ein Element e gibt, so daß
e' = 1 ist.
A. Gibt es nämlich ein e in A, so daß e'= 1 ist, und ist a' irgend-
ein integrables Element, so ist a + c, wo c ein beliebiges Element aus
K ist, integrabel, da (« + ce)' = a-f c ist.
B. Sind a' und a c gleichzeitig integrabel, wo c I 0 ein Element
aus K ist, so gibt es ein b, so daß ist; dann ist aber
c = b'— a = (b — a)' oder 1 = f ) = e' wegen II a und IV.
§ 2. Die einfachen Erweiterungen.
Da es in differentiierbaren Funktionenkörpern1) der Charakteristik
p 0 keine in Hinsicht auf den Konstantenkörper2) transzendenten Ele-
mente gibt, so wird folgende Bezeichnung berechtigt:
ist A ein DK, K sein CK, so heißt ein Element a in Hinsicht auf A
bztv. K quasitranszendent, wenn es
im Falle p = 0 transzendent ist,
im Falle pih der in A bzw. K irreduziblen Gl. — c = 0 genügt,
wo c ein Element aus K ist.3) Sonst und nur sonst werden wir das
Element a algebraisch nennen.
Diese letzte Definition findet ihre Berechtigung in der folgenden
Aussage:
VI a. ist p 4= 0, so ist jedes Element eines A bzw. K umfassenden
DK, das in Hinsicht auf A bzw. K einer Gl. vom Grade S^p-A
genügt, bereits in K enthalten; d. h. es ist entweder quasi-
transscendent oder im Ausgangs-CK enthalten.
D DK = differentiierbarer Funktionenkörper.
2) CK = Konstantenkörper.
3) Dies sind — in Steinitz scher Terminologie —Wurzelelemente cf. Steinitz
1. c. p. 229.