Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 19
Denn einerseits genügt a der Gl. /"(^) ==.xv — c = 0 mit e aus K,
welche nur die eine Lösung a hat; ist andererseits g(x) = 0 eine
irreduzible Gl. vom Grade <p — l, der a genügt, so muß g (x) Teiler
von f(x) sein, kann also nur die Lösung a haben, muß also vom
Grade 1 sein.1)
Satz I : Sei A ein DK, K sein CK, t algebraisch in Hinsicht auf A und:
(1) + Zw-1+... + ao = O
die Gl. niedersten Grades, der t in A genügt; wegen Via sei also
p — 0. Dann und nur dann ist A (f) ein A umfassender DK mit
K als CK, wenn
, _ a'n-i in~1 + • • • + ao_’ ,
nt71-1 -fan 1 (n— 1) tn~2 + ... + ’
2. alle in Hinsicht auf K algebraischen Elemente aus A ff) in K
enthalten sind,
3. dze Ableitung der übrigen Elemente von A ff auf Grund von
II, III bestimmt wird.
A. Gesetzt, A ff ist ein A umfassender DK; dann folgt durch
Ableiten der Gl. (1):
n —1 n
(la) ^a'it1 A-t'^^iait1-1 = () rAi an-
i=0 i=l
Hier muß der Faktor von f von Null verschieden sein, da sonst
(1) keine Gl. niedersten Grades für t ist, womit die Notwendigkeit der
Bedingung 1. erwiesen.
Weiter sei s irgendein Element aus A ff, aber nicht aus A, d. h.
m
(2) s==2
i=0
wo mffn—A, die Elemente aus A und nicht alle b^ — Q für i )> 0
sind. Steht jetzt s im Widerspruch mit 2., d. h. gilt:
a
(3) 'S G si = °’
6=0
wo die Elemente aus K und nicht sämtlich — 0 sind, und ist (3)
die Gl. niedersten Grades dieser Art, so folgt durch Ableiten von (3):
(3 a) s' S i ci s*"1 = 0,
i= 1
da A ein DK und also wegen I. c'i = 0 ist. ATon den beiden Fak-
toren der linken Seite von (3a) kann aber nur s' — 0 sein, da es sonst

9 cf. Steinitz 1. c. § 10, p. 212 ss.

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