Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 21

Dann und nur dann ist A(t) ein A umfassender DK, derart
daß t' in A enthalten ist, wenn
1. f kein bereits in A integrables Element ist,
2. fP in K enthalten ist,
3. die Ableitung der übrigen Elemente auf Grund von II und III
bestimmt wird.
A. Die Notwendigkeit von 1. folgt aus VIII, die von 2. aus VI,
die von 3. aus II, III.
B. Sei 1. — 3. erfüllt; dann gilt der Hilfssatz
(b): Ist s Element aus A(t} und p f 0, so ist S? Element von K.
Denn nach einem Satz von Steinitz x) ist:
/ m m m
12 m* ) = 2 =2
■i=0 7 i=0 i = o
also wegen 2., VI und la. Element von K.

Sei zunächst p f 0; dann hat also jedes Element aus A(Jß die Form:
n
i = O
wo n<Zp — 1 und alle af in A enthalten sind. Weiter ist:
n n
s^aß tiEt,'^i ia^-1
i = 0 i — 1

n — 1
— an ln d- S“ 1) ai + 1) I-
i=0

Da n.V. t’ von t frei, d. h. in A enthalten ist, so würde aus s' = 0:

af = (af + (^+ 1) Ißi + i) = 0 für 0<i<n—1 folgen. Mithin wäre

an Element aus K und t’=1 = f im Widerspruch mit 1.
n-an \-nanJ
Sei jetzt p = 0 und

Z(Z)

N(0

wo angenommen werden darf; ist jetzt s' = 0, so ist:

x) cf. Steinitz, 1. c. p. 224, § 12 Gl. (1).