Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

26 Reinhold Baer:
nichtintegrablen Elemente aufgezehrt werden können, Satz 2 also nicht
mehr anwendbar wäre. — Daß das in diesem Falle angewandte Ver-
fahren nicht ohne weiteres auf übertragen werden kann, wird sofort
einsichtig (vergl. auch Satz 5 a).
Seien die ßr wohlgeordnet und zwar durch ihre Indizes, die irgend-
welche finite und transfinite Ordnungszahlen sind.
O. B. d. A. können wir annehmen, daß es unter den ßv kein
letztes gibt; wäre dies nämlich nicht der Fall, so gäbe es unter den v
eine letzte Limeszahl q\ man hätte dann nur alle die ßv mit r>o
an die Spitze der Wohlordnung der ßv zu stellen, diese im übrigen
aber unverändert zu lassen, um das System endlos zu machen.
Wir setzen fest:
ßß == ßv+v während die Ableitung der übrigen Elemente sich aus
II, II a, III, III a und c' = 0 für c aus K ergibt.
Um nachzuweisen, daß auf Grund dieser Festsetzungen Kfßßßß)
ein DK mit K als CK ist, haben wir nur noch zu zeigen, daß aus
c = 0 die Zugehörigkeit von c zu K folgt.
Zunächst sei p 0.
Dann läßt sich jedes Element aus K(ßßßß) als Polynom in den ßv
mit Koeffizienten aus K darstellen, derart daß
1. nur endlich viele ßv in dem Polynom auftreten,
2. jedes ßv höchstens in (p — l)-ter Potenz auftritt; es ist ja ß?
Element aus K.
Sei also s ein Element aus K({ßßf) und s' = 0. Unter den ßv,
die in dem Ausdruck für s wirklich auftreten, muß es wegen 1. eines
mit maximalem Index geben; sei dies ßm, so daß also kein ßv mit
v j> m in s wirklich auftritt.
Wir entwickeln s nach Potenzen von ßm:
i = 0
wo die Pi(ß) Polynome in ßv mit v m und Koeffizienten aus K sind.
Dann ist: n
s' = *'ftOT + P(ß) = 0>
i — 1
wo B (ß) ein Polynom in ßv mit v m +1 ist. Da aber die ßv eine
Basis bilden, muß der Faktor von ßm+1 verschwinden, d. h.
n
i = l