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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0039
Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes.
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8. Vorschrift: (f, gQ) = (g0, /")■
9. Vorschrift: (f0, 9o) = o, falls eine der beiden Formen f0, g0,
oder auch beide, von o verschiedene Konstante sind; (f0,g) = o, falls
eine der beiden Formen f0, g, oder auch beide, von o verschiedene
Konstanten sind.
Durch vorstehende neun Vorschriften sind die speziellen Symbole
(f0, go) (fo,g) und (f,go) in einer unmittelbar als eindeutig erkennbaren
Weise ihrem Werte nach festgelegt. Die drei nachfolgenden Vorschriften
werden zeigen, wie man die Berechnung irgendeines Symbols (F, G')
sukzessive auf Symbole der erstgenannten Typen zurückführen soll.
Es sei (F, Cr) zu berechnen; dabei sei F = G = g0-g, wo
f0,g0,f,g die obige Bedeutung haben. Dann soll die Vorschrift gelten:
10. Vorschrift: (F, G) = (fo,9o) + (fo, g) + (Aö'o) + (f>g~)-
Es bleibt also nur noch (f, g~) zu erklären für den Fall, daß sowohl
f als g von mindestens 1. Grade in z sind. Es sei fz der Grad von
f in 0, gz der Grad von g in #; fi und gy seien die Koeffizienten der
höchsten Potenzen von z, welche in f bzw. in g vorkommen; und gy
sind also immer binäre Formen in x, y, i und x bedeuten die Ord-
nungen dieser binären Formen.
11. Vorschrift: Im Falle fz^gz soll sein:
fz-gz
(f>9) = (f',9') — (9,<’9) mit f'=9x'f-z 'fr 9
12. Vorschrift: Im Falle fz<^9z soll sein:
gz-fz
= mit 9' = fi-9~z '9xf
Die Reduktion besteht darin, daß in 11: fz<Zfz, und daß in 12:
9z <C 9z ist- Ferner ist zu beachten, daß g) und (/", /t) von dem
schon berechenbaren Typus (/*0, g~) bzw. {f,g0) sind. Somit sind jetzt alle
Symbole (F, G") durch unzweideutige Vorschriften numerisch festgelegt,
und zwar ist zu ersehen:
Jedes Symbol (F, Cr) erscheint letzten Endes als eine al-
gebraische Summe von Symbolen (?,?'), — mit Koeffizienten + 1
oder —1, wo l und V binäre Formen in x, y oder y, z oder z, x
sind; die Anzahl derselben sowohl als auch die linearen
Formen l und l' selbst sind durch das Verfahren ein-
deutig bestimmt.
Die Vorschrift 10, welche F und G von ihren binären Bestand-
teilen in x, y befreit, mußte den Vorschriften 11 und 12 deshalb
vorausgehen, weil letztere sonst gar nicht möglich wären; denn hätte
in 11 die Form g einen binären Faktor in x, ?/, so müßte dieser auch
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8. Vorschrift: (f, gQ) = (g0, /")■
9. Vorschrift: (f0, 9o) = o, falls eine der beiden Formen f0, g0,
oder auch beide, von o verschiedene Konstante sind; (f0,g) = o, falls
eine der beiden Formen f0, g, oder auch beide, von o verschiedene
Konstanten sind.
Durch vorstehende neun Vorschriften sind die speziellen Symbole
(f0, go) (fo,g) und (f,go) in einer unmittelbar als eindeutig erkennbaren
Weise ihrem Werte nach festgelegt. Die drei nachfolgenden Vorschriften
werden zeigen, wie man die Berechnung irgendeines Symbols (F, G')
sukzessive auf Symbole der erstgenannten Typen zurückführen soll.
Es sei (F, Cr) zu berechnen; dabei sei F = G = g0-g, wo
f0,g0,f,g die obige Bedeutung haben. Dann soll die Vorschrift gelten:
10. Vorschrift: (F, G) = (fo,9o) + (fo, g) + (Aö'o) + (f>g~)-
Es bleibt also nur noch (f, g~) zu erklären für den Fall, daß sowohl
f als g von mindestens 1. Grade in z sind. Es sei fz der Grad von
f in 0, gz der Grad von g in #; fi und gy seien die Koeffizienten der
höchsten Potenzen von z, welche in f bzw. in g vorkommen; und gy
sind also immer binäre Formen in x, y, i und x bedeuten die Ord-
nungen dieser binären Formen.
11. Vorschrift: Im Falle fz^gz soll sein:
fz-gz
(f>9) = (f',9') — (9,<’9) mit f'=9x'f-z 'fr 9
12. Vorschrift: Im Falle fz<^9z soll sein:
gz-fz
= mit 9' = fi-9~z '9xf
Die Reduktion besteht darin, daß in 11: fz<Zfz, und daß in 12:
9z <C 9z ist- Ferner ist zu beachten, daß g) und (/", /t) von dem
schon berechenbaren Typus (/*0, g~) bzw. {f,g0) sind. Somit sind jetzt alle
Symbole (F, G") durch unzweideutige Vorschriften numerisch festgelegt,
und zwar ist zu ersehen:
Jedes Symbol (F, Cr) erscheint letzten Endes als eine al-
gebraische Summe von Symbolen (?,?'), — mit Koeffizienten + 1
oder —1, wo l und V binäre Formen in x, y oder y, z oder z, x
sind; die Anzahl derselben sowohl als auch die linearen
Formen l und l' selbst sind durch das Verfahren ein-
deutig bestimmt.
Die Vorschrift 10, welche F und G von ihren binären Bestand-
teilen in x, y befreit, mußte den Vorschriften 11 und 12 deshalb
vorausgehen, weil letztere sonst gar nicht möglich wären; denn hätte
in 11 die Form g einen binären Faktor in x, ?/, so müßte dieser auch