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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0041
Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes. 41
Durch diese Bestimmung wird also die Relation (f, g') — (g, f) im
Falle fz = 9z unter die Vorschriften aufgenommen. Die drei Fälle zu-
sammenfassend können wir also folgendermaßen schließen:
1. Das Vertauschungsgesetz (F, G') = (G, F) ist richtig für Fz = v,
Gz = w mit v > w, falls es schon als richtig bewiesen ist für Fz<^v — 1,
Gz — w.
2. Die Relation CF, U) = (Cr,-F) ist richtig für Fz= v, Gz = w
mit vFw, falls sie schon richtig ist für Fz=v, Gz<Fw — 1.
Somit kann man fortgesetzt reduzieren, bis man auf eine Relation
von der Art kommt, wie sie in Vorschrift (8) steht, nämlich (/) (?0)
= Damit ist — unter Voraussetzung der obigen abgeänderten
Vorschriften — das Vertauschungsgesetz bewiesen. Nachträglich folgt
aber sofort aus ebendiesem Vertauschungsgesetz, daß man im Falle
fz = gz sowohl die Formel 11 als auch die Formel 12 anwenden darf,
ohne zu verschiedenen numerischen Endergebnissen zu kommen. Es
ist also z. B. erlaubt, im Falle fz = gz ständig die Formel 11 zu be-
nützen; d. h. das Vertauschungsgesetz gilt auch unter Beibehaltung der
unveränderten Vorschriften 11 und 12, q. e. d.
§ 4. Das Postulatsystem ist widerspruchslos.1)
Vorstehende Behauptung wird bewiesen sein, wenn folgender Satz
richtig ist:
Innerhalb des Systems der wohl definierten Zahlen
(F, G) des vorigen §3 sind die vier Postulate erfüllt.
Beweis: Postulat I und II sind in den Vorschriften 1 und 2 ent-
halten, ausgenommen den Fall, daß z sowohl in l als in Z' vorkommt.
Daß auch in diesem Fall die Sätze I und II richtig sind, ist eine
leichte Folge aus den Vorschriften 11 und 9. Dagegen muß von den
Postulaten III und IV erst durch eine eingehende Untersuchung ge-
zeigt werden, daß sie implizite durch die gegebenen Vorschriften
erfüllt sind. Von dieser Beweisführung hängt wesentlich die Wider-
spruchslosigkeitund Eindeutigkeit des Postulatsystems ab. Der
Beweis zerfällt in mehrere Schritte, welche durch die Hilfs sätze 1
bis 6 gekennzeichnet sind. Im voraus ist zu bemerken, daß wir nur
Dies ist immer möglich, da ja f und g teilerfremde Formen in x, y, z sind und
daher sich in dem Koeffizienten von mindestens einem Potenzprodukt xa y@ z^
unterscheiden.
*) Ein zweiter und zwar ganz kurzer Beweis der Widerspruchslosigkeit
ist in § 8 implizite enthalten; denn jene Exponenten in der Mertens sehen Re-
sultante bedeuten eine Realisierung unseres Postulatsystems! Man vergleiche
ferner die §§ 13 und 14.
Durch diese Bestimmung wird also die Relation (f, g') — (g, f) im
Falle fz = 9z unter die Vorschriften aufgenommen. Die drei Fälle zu-
sammenfassend können wir also folgendermaßen schließen:
1. Das Vertauschungsgesetz (F, G') = (G, F) ist richtig für Fz = v,
Gz = w mit v > w, falls es schon als richtig bewiesen ist für Fz<^v — 1,
Gz — w.
2. Die Relation CF, U) = (Cr,-F) ist richtig für Fz= v, Gz = w
mit vFw, falls sie schon richtig ist für Fz=v, Gz<Fw — 1.
Somit kann man fortgesetzt reduzieren, bis man auf eine Relation
von der Art kommt, wie sie in Vorschrift (8) steht, nämlich (/) (?0)
= Damit ist — unter Voraussetzung der obigen abgeänderten
Vorschriften — das Vertauschungsgesetz bewiesen. Nachträglich folgt
aber sofort aus ebendiesem Vertauschungsgesetz, daß man im Falle
fz = gz sowohl die Formel 11 als auch die Formel 12 anwenden darf,
ohne zu verschiedenen numerischen Endergebnissen zu kommen. Es
ist also z. B. erlaubt, im Falle fz = gz ständig die Formel 11 zu be-
nützen; d. h. das Vertauschungsgesetz gilt auch unter Beibehaltung der
unveränderten Vorschriften 11 und 12, q. e. d.
§ 4. Das Postulatsystem ist widerspruchslos.1)
Vorstehende Behauptung wird bewiesen sein, wenn folgender Satz
richtig ist:
Innerhalb des Systems der wohl definierten Zahlen
(F, G) des vorigen §3 sind die vier Postulate erfüllt.
Beweis: Postulat I und II sind in den Vorschriften 1 und 2 ent-
halten, ausgenommen den Fall, daß z sowohl in l als in Z' vorkommt.
Daß auch in diesem Fall die Sätze I und II richtig sind, ist eine
leichte Folge aus den Vorschriften 11 und 9. Dagegen muß von den
Postulaten III und IV erst durch eine eingehende Untersuchung ge-
zeigt werden, daß sie implizite durch die gegebenen Vorschriften
erfüllt sind. Von dieser Beweisführung hängt wesentlich die Wider-
spruchslosigkeitund Eindeutigkeit des Postulatsystems ab. Der
Beweis zerfällt in mehrere Schritte, welche durch die Hilfs sätze 1
bis 6 gekennzeichnet sind. Im voraus ist zu bemerken, daß wir nur
Dies ist immer möglich, da ja f und g teilerfremde Formen in x, y, z sind und
daher sich in dem Koeffizienten von mindestens einem Potenzprodukt xa y@ z^
unterscheiden.
*) Ein zweiter und zwar ganz kurzer Beweis der Widerspruchslosigkeit
ist in § 8 implizite enthalten; denn jene Exponenten in der Mertens sehen Re-
sultante bedeuten eine Realisierung unseres Postulatsystems! Man vergleiche
ferner die §§ 13 und 14.