Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes. 53
läßt sich zu folgendem einfacheren und dazu praktisch brauchbareren
[Zur numerischen Berechnung in § 11 z. B.] Satze IV" erweitern.
Satz IV": 71/ (A(X; 2/,i)> — AL^A-^-tB, B),
wo t von beliebiger Ordnung in x, y ist.
Beweis: Es sei d die Ordnung von ^^i), m die von A, n die
von B.
1. Fall: klier ist IV" mit IV' identisch.
2. Fall: m^d-^n; hier gilt nach Definition
71/2/,i)‘= M(zn+d m- A(X>y)Z)-\-i’B, B(X>y>2)),
welch letzterer Ausdruck nach IV und III zerlegt werden kann in
die Summe
71/ ^n+d~m, B) + 71/ (A, B\
Es ist aber (z, Bj = o, weil z f o in jedem Punkt der Art x = a,
y = ß, * = 1
Damit ist IV" bewiesen.
Will man auch gemeinsam e Teiler in den beiden nicht homo-
genen Polynomen zulassen, so definiere man, nach Analogie des
vorigen § 9:
AB V(x,y,r)) = M (JT
falls U(X,y>V) = U'-T-, V(x,y,i) = V'-T-, U' und V' teilerfremd; T f o
in dem betreffenden Punkt. Es gelten dann ohne weiteres auch für
dieses neue Symbol die vier Sätze I', II', III', IVZ und IV".
§ 11. Numerische Berechnung der Multiplizitätszahlen.
Die zwölf Vorschriften von § 3, welche ausreichen, um die Symbole
(£7, F) eindeutig zu definieren, sind für die numerische Berechnung un-
geeignet; denn die explizite Darstellung von (U, F) als A (Z, Z'), wo
l und V binäre lineare Formen sind, erfordert die Faktorenzerlegung
gewisser binärer Formen. Daher leiten wir noch eine zweite, und zwar
außerordentlich einfache Methode ab, die in jedem Falle ohne Schwierig-
keit zum Ziele führt (die aber für den Zweck der §§ 3 und 4, nämlich
zum Beweis der Widerspruchslosigkeit der Postulate, wie mir scheint,
weniger geeignet wäre). Wir benötigen zur praktischen Ausführung
einer Multiplizitätsbestimmung nichts als die Kenntnis, wie man Poly-
nome multipliziert, und wie man abzählt, wie oft eine Variabele als
Faktor in gewissen Polynomen heraustritt. Die einzige Vorbereitung ist
die Transformation des Punktes, dessen Multiplizität bestimmt werden