Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Kapferer:

§ 14. Multiplizitätsbegriff bei Primäridealen.
Der Begriff Multiplizität bei Primäridealen1) von Polynomen ist
definiert als der „Rang“ des Restklassenrings nach diesen Polynomidealen.
Unter Restklassenring nach einem Polynomideal m versteht man den-
jenigen Ring, in den der Polynombereich in x, y übergeht, wenn als neue
Gleichheit die Kongruenz nach m eingeführt wird. Dieser „Rang“ ist
seinerseits wiederum identisch mit der Anzahl der linear unabhängigen
Restklassen des Polynombereichs nach m. Beschränkt man sich nun
auf diejenigen Primärideale, welche in dem zweigliedrigen Ideal
(F,Gr) — also das Symbol (F, (?) in anderer Bedeutung als bisher
— enthalten sind, mit der weiteren Bedingung, daß F und (? teiler-
fremde Polynome sind, so läßt sich nach weisen, daß die vier Po stu-
late I', II', III', IV' erfüllt sind.
Nahezu trivial sind wieder I' und II'; IV' ist eine Folge der
bekannten Idealeigenschaft, daß Ideal (F, (?) identisch ist mit Ideal
(F-f-((?,(?). Nur der „Produktsatz“ III' ist nicht ohne weiteres als
erfüllt einzusehen. Es ist keine Beschränkung der Allgemeinheit,
wenn man III' nur für den Punkt x = o, y = o ausspricht und wenn
man außerdem statt einer beliebigen linearen homogenen Form 1 speziell
1 = x annimmt; denn die Restklassenanzahl ist ebenfalls invariant
gegenüber jeder linearen umkehrbaren Transformation, welcher die
Basis des Ideals unterworfen wird. Dann kann man III so aussprechen:
A, B) + x) = ft(A, x ■ B).
Dabei bedeuten A und B zwei teilerfremde Polynome, welche den
Nullpunkt als gemeinsame Nullstelle haben, A * o(x), und fR(U, K)
bedeutet die Anzahl der linear unabhängigen Restklassen des zum
Nullpunkt gehörigen Primärideals von (U, V). Bezüglich des Beweises
jedoch für obige Relation verweise ich auf meine gleichzeitig erschei-
nende Abhandlung.2) In einem an jene Abhandlung anschließenden
„Zusatz“ zeigt E. Noether unter anderem, wie aus dem von mir ge-

*) Vgl. etwa: F. S. Macaulay: „The algebraic Theorie of Modular
Systems“ 1917, Cambridge Tracts; Nr. 19. Ferner: E. Noether: „Zur The-
orie der Polynomideale und Resultanten“, Math. Annalen (88), 1922 und
E. Noether: „Eliminationstheorie ■ und allgemeine Idealtheorie“, Math. An-
nalen (90), 1923.
2) „Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen zum Noether -
schen Fundamentalsatz.“ Mit einem Zusatz von E. Noether. Mathematische
Annalen 97.