Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen.

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Definitionsgemaß ist aber gr identisch mit f2} g2; daher kann
das Ergebnis auch so geschrieben werden:
(17) A — 0 (/*2> .72’ PA
ist notwendige Bedingung für .7^ = 0 (fj, gv p/).

Ich behaupte weiterhin, daß die beiden als notwendig erkannten
Bedingungen (13) und (17) zugleich auch hinreichend sind für das
Bestehen der Kongruenz Kx = o (qj, denn (K^) > (t^) hat zur Folge,
daß K2 ganz rational wird. Aus der zweiten Bedingung, K2 = o
(fz, 9z, Pi°) foigt rückwärts
x-K2 = o (xf2, x-g2, pxö)
und nach Saiz (9) und (16) folgt
K.-g^ :»“ = o (fvgv
und mit Hilfssatz 4 schließlich -2^ = o^,^,^!0), d. h. auch K1 = o(q1),
was zu beweisen war. Wir haben also folgenden Satz bewiesen:

(18)

Die Erfüllung der beiden Bedingungen
C^i) (#i) und ^z = ° (<h(?))
ist notwendig und hinreichend für das
Kongruenz = 0

dabei bedeutet: qi = (/i, Stu .gi(2) = (A, fe Pi”) i ”
große natürliche Zahl, die nur eine gewisse Grenze
haben muß.

Bestehen der
eine beliebig
überschritten

Führt man die Bezeichnungen in analoger Weise fort, indem man

definiert:

<h<3) = (A 9s> PA ■■■■> - A 9 t, Pi°)

und wendet den Satz (18) fortgesetzt an, und zwar zunächst auf
K2 — o (qA), so ergibt sich:
Für K2 = o (qj(2)) ist notwendig und hinreichend die Erfüllung
der beiden Bedingungen:
(K2) (<72) und K3 = o (q/3)) usw., schließlich:

Für Kt = o (qf) ist notwendig und hinreichend die Erfüllung der
zwei Bedingungen
(^t) (7t) und Kt + 1 = o (q/t+1)).
Zusammenfassend haben wir also den Satz:

(19)

Notwendig und hinreichend für = o (qr) ist die Er-
füllung der t Ungleichungen
und der Kongruenz