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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0073
Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen.
73
Definitionsgemäß sind (rr,^), .. .. (x, gt) sämtlich natürliche Zahlen,
größer als Null, ebenso (flf gf), während (/’i + 1, 99 + 1) positiv oder
Null sein kann; daraus folgt, da (fvg-f eine endliche positive Zahl, daß
von einer ganz bestimmten Stelle t an erstmals (ft + v 9t±i) = 0 sein
muß. Nach Definition sind aber ft + 1, gt + 1 mit ht, gt, bis auf die
Reihenfolge, identisch, wo gt noch im Punkte x = o, y = o verschwindet.
Also kann ht diese Eigenschaft nicht mehr haben, weil sonst (l'it,gt)'P>o
wäre, d. h. es muß ht(o, o) o sein. Damit ist Satz (20) bewiesen.
Das Symbol (x, gf) ist, — wieder unter Berufung auf § 11 der
vorhergehenden Abhandlung —, dem Werte nach gleich derjenigen
Zahl, welche angibt, wie oft y als Faktor in g{ (o, y) enthalten ist; also
wird (x, gf)=(gf) nach der zu Beginn von § 2 erklärten Bezeichnungsweise.
Setzt man also in (23) jene bestimmte Zahl t des Satzes (20) ein, so wird
(24) (cp, v>) = (/), gf) = (fi) + (&) + ••••+ (9 t)-
Diese letztere Formel bedeutet das Endergebnis jener Multiplizi-
tätsbestimmung, welche in § 11 der vorhergehenden Abhandlung nur
in ihrem ersten Schritt erklärt worden war.
Die Relation (24) ist auch direkt für den Hauptsatz (21) von Be-
deutung. Sie gibt nämlich sofort eine obere Schranke für die An-
zahl t der im Hauptsatz geforderten Bedingungen. Da ja (gf), (gf) ■ ■ ■
(gt) sämtlich positive Zahlen gleich oder größer 1 sind, so folgt:
(25) ^(/i,9i)
Für Theorie und Anwendung des Hauptsatzes ist noch folgendes
beachtenswert. Man kann die Rollen der Variabein x, y miteinander
vertauschen und zwar nicht etwa bloß der Bezeichnung nach. Statt
des Systems (8) bilde man
f'i ' 9\ (x> 0): x — g j • /((®, 0): x = y - l^
f'z • 9'2 (%, 0) : x — 9' • (x, 0): x = y -
ft‘ • 9t‘ (®, 0): x — 9't‘ • f't‘ (x, 0): x = y • lt't‘
dabei soll allgemein diejenige Zahl bedeuten, die angibt, wie
oft x als Faktor in A(X>0) auftritt. Dem Satz (20) entsprechend exi-
stiert in eindeutiger Weise eine Zahl t', so daß zwar h'2, . . .
im Punkte x = 0, y = 0 verschrieben, aber nicht mehr h'v. Die Re-
lation (24) wird dann ersetzt werden durch
(27) (99, f) = (f, gf) = (fv gf) = [^] + [gf + ... + [gf].
W ährend die Polynome /', g't mit /j, gt identisch sind, werden /), 9'
m allgemeinen von f2, g2 verschieden sein usw. Ebenso wird t' im
(26)
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Definitionsgemäß sind (rr,^), .. .. (x, gt) sämtlich natürliche Zahlen,
größer als Null, ebenso (flf gf), während (/’i + 1, 99 + 1) positiv oder
Null sein kann; daraus folgt, da (fvg-f eine endliche positive Zahl, daß
von einer ganz bestimmten Stelle t an erstmals (ft + v 9t±i) = 0 sein
muß. Nach Definition sind aber ft + 1, gt + 1 mit ht, gt, bis auf die
Reihenfolge, identisch, wo gt noch im Punkte x = o, y = o verschwindet.
Also kann ht diese Eigenschaft nicht mehr haben, weil sonst (l'it,gt)'P>o
wäre, d. h. es muß ht(o, o) o sein. Damit ist Satz (20) bewiesen.
Das Symbol (x, gf) ist, — wieder unter Berufung auf § 11 der
vorhergehenden Abhandlung —, dem Werte nach gleich derjenigen
Zahl, welche angibt, wie oft y als Faktor in g{ (o, y) enthalten ist; also
wird (x, gf)=(gf) nach der zu Beginn von § 2 erklärten Bezeichnungsweise.
Setzt man also in (23) jene bestimmte Zahl t des Satzes (20) ein, so wird
(24) (cp, v>) = (/), gf) = (fi) + (&) + ••••+ (9 t)-
Diese letztere Formel bedeutet das Endergebnis jener Multiplizi-
tätsbestimmung, welche in § 11 der vorhergehenden Abhandlung nur
in ihrem ersten Schritt erklärt worden war.
Die Relation (24) ist auch direkt für den Hauptsatz (21) von Be-
deutung. Sie gibt nämlich sofort eine obere Schranke für die An-
zahl t der im Hauptsatz geforderten Bedingungen. Da ja (gf), (gf) ■ ■ ■
(gt) sämtlich positive Zahlen gleich oder größer 1 sind, so folgt:
(25) ^(/i,9i)
Für Theorie und Anwendung des Hauptsatzes ist noch folgendes
beachtenswert. Man kann die Rollen der Variabein x, y miteinander
vertauschen und zwar nicht etwa bloß der Bezeichnung nach. Statt
des Systems (8) bilde man
f'i ' 9\ (x> 0): x — g j • /((®, 0): x = y - l^
f'z • 9'2 (%, 0) : x — 9' • (x, 0): x = y -
ft‘ • 9t‘ (®, 0): x — 9't‘ • f't‘ (x, 0): x = y • lt't‘
dabei soll allgemein diejenige Zahl bedeuten, die angibt, wie
oft x als Faktor in A(X>0) auftritt. Dem Satz (20) entsprechend exi-
stiert in eindeutiger Weise eine Zahl t', so daß zwar h'2, . . .
im Punkte x = 0, y = 0 verschrieben, aber nicht mehr h'v. Die Re-
lation (24) wird dann ersetzt werden durch
(27) (99, f) = (f, gf) = (fv gf) = [^] + [gf + ... + [gf].
W ährend die Polynome /', g't mit /j, gt identisch sind, werden /), 9'
m allgemeinen von f2, g2 verschieden sein usw. Ebenso wird t' im
(26)