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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0084
84
Wolfgang Krull:
„reziproken Gleichungen“ (ar • 6) ” 3t = Q z; (ds " 3t) • S = as, so
kann man mit ihrer Hilfe die Ideale aus 3i und ® einander so ein-
deutig zu ordnen1), daß aus den Beziehungen bzw. ar'br-cr
immer die Beziehungen Qs^bs. bzw. as • 6S = c.s folgen und umgekehrt,
wenn ar und as, br und cr und cs entsprechende Ideale aus 31 und
bedeuten. In diesem Falle sollen die zu 3t und @ gehörigen Ideal-
bereiche äquivalent heißen. Von Äquivalenz wollen wir auch dann
reden, wenn sich die Zuordnung nicht auf die vollen Ideal bereiche,
sondern nur auf gewisse Teilscharen von Idealen aus 3t und ® (Ideal-
körper im Sinne von Herrn Grell) bezieht.
§ 1.
Die Potenzreihenringe $ und und ihr Zusammenhang.
Unter 3t verstehen wir den Ring aller ganzen Zahlen aus einem
endlichen algebraischen Zahlkörper unterp ein beliebiges Primideal aus 3t.
Die Gesamtheit aller der Elemente aus die eine Quotientendarstellung
mit zu p teilerfremdem Nenner besitzen, bilden einen Ring Dtp.2) In
3tp gibt es außer dem Einheitsideal nur ein einziges Primideal, näm-
lich p • Dtp, und seine Potenzen (p • 3tp/ = p2 • Dtp- Ein Element a aus
Dtp ist dann und nur dann in U-3tp enthalten, wenn es eine Quotienten-
darstellung besitzt, bei der der Nenner zu p teilerfremd, der Zähler
durch pi teilbar ist; ist der Zähler genau durch p2 (d. h. durch ph aber
nicht durch pi+1) teilbar, so bildet a eine Idealbasis von pi-3tp. Es
ist also in Dtp jedes Ideal Hauptideal. Der Bereich aller
Ideale aus 3t p und der aller Potenzen von p aus 3t (ein-
schließlich der nullten, dem Einheitsideal o) sind äqui-
valent. Ein volles Restsystem von 3t nach p2 ist auch ein
solches von 3tp nach pi• 3tp.
5ß bzw. 5ßp bedeutet den Ring aller formalen Potenzreihen in x
mit Koeffizienten aus 3t bzw. 3tp. Ideale aus 5p oder 5ßp werden mit
ä, b, usw. bezeichnet, während wir für Ideale aus 3t oder 3tp die Schreib-
weise a, 6 usw. benutzen. Unter dem „Anfangsglied“ einer Potenz-
reihe verstehen wir stets den Koeffizienten von a;0 = l. Ein Eie-
n
liehen Summen (ai bei. aus ar, oi bei. aus S); a.s"Di ist der mengen-
i=l
theoretische Durchschnitt von a$ und Di.
q Genauer ausgeführt ist die hier benutzte Zuordnung in § 3 der auf S. 83
Anin. 1 zitierten Grell sch en Arbeit.
2) Dip kann aufgefaßt werden als der Durchschnitt von J? und dem Ringe
aller ganzen zum Primideal p gehörigen p-adischen Zahlen. Die einfachen Be-
weise für die im Text angegebenen Eigenschaften von Dip dürfen wir wohl
unterdrücken.
Wolfgang Krull:
„reziproken Gleichungen“ (ar • 6) ” 3t = Q z; (ds " 3t) • S = as, so
kann man mit ihrer Hilfe die Ideale aus 3i und ® einander so ein-
deutig zu ordnen1), daß aus den Beziehungen bzw. ar'br-cr
immer die Beziehungen Qs^bs. bzw. as • 6S = c.s folgen und umgekehrt,
wenn ar und as, br und cr und cs entsprechende Ideale aus 31 und
bedeuten. In diesem Falle sollen die zu 3t und @ gehörigen Ideal-
bereiche äquivalent heißen. Von Äquivalenz wollen wir auch dann
reden, wenn sich die Zuordnung nicht auf die vollen Ideal bereiche,
sondern nur auf gewisse Teilscharen von Idealen aus 3t und ® (Ideal-
körper im Sinne von Herrn Grell) bezieht.
§ 1.
Die Potenzreihenringe $ und und ihr Zusammenhang.
Unter 3t verstehen wir den Ring aller ganzen Zahlen aus einem
endlichen algebraischen Zahlkörper unterp ein beliebiges Primideal aus 3t.
Die Gesamtheit aller der Elemente aus die eine Quotientendarstellung
mit zu p teilerfremdem Nenner besitzen, bilden einen Ring Dtp.2) In
3tp gibt es außer dem Einheitsideal nur ein einziges Primideal, näm-
lich p • Dtp, und seine Potenzen (p • 3tp/ = p2 • Dtp- Ein Element a aus
Dtp ist dann und nur dann in U-3tp enthalten, wenn es eine Quotienten-
darstellung besitzt, bei der der Nenner zu p teilerfremd, der Zähler
durch pi teilbar ist; ist der Zähler genau durch p2 (d. h. durch ph aber
nicht durch pi+1) teilbar, so bildet a eine Idealbasis von pi-3tp. Es
ist also in Dtp jedes Ideal Hauptideal. Der Bereich aller
Ideale aus 3t p und der aller Potenzen von p aus 3t (ein-
schließlich der nullten, dem Einheitsideal o) sind äqui-
valent. Ein volles Restsystem von 3t nach p2 ist auch ein
solches von 3tp nach pi• 3tp.
5ß bzw. 5ßp bedeutet den Ring aller formalen Potenzreihen in x
mit Koeffizienten aus 3t bzw. 3tp. Ideale aus 5p oder 5ßp werden mit
ä, b, usw. bezeichnet, während wir für Ideale aus 3t oder 3tp die Schreib-
weise a, 6 usw. benutzen. Unter dem „Anfangsglied“ einer Potenz-
reihe verstehen wir stets den Koeffizienten von a;0 = l. Ein Eie-
n
liehen Summen (ai bei. aus ar, oi bei. aus S); a.s"Di ist der mengen-
i=l
theoretische Durchschnitt von a$ und Di.
q Genauer ausgeführt ist die hier benutzte Zuordnung in § 3 der auf S. 83
Anin. 1 zitierten Grell sch en Arbeit.
2) Dip kann aufgefaßt werden als der Durchschnitt von J? und dem Ringe
aller ganzen zum Primideal p gehörigen p-adischen Zahlen. Die einfachen Be-
weise für die im Text angegebenen Eigenschaften von Dip dürfen wir wohl
unterdrücken.