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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0085
Idealtheorie der Potenzreihen einer Variabein usw. 85
ment aus bzw. ist ersichtlich dann und nur dann
Einheit, wenn sein Anfangsglied Einheit in Di bzw. Dtp
ist. Die Gesamtheit der Anfangsglieder sämtlicher Potenzreihen eines
Ideals ä bildet ein Ideal aa, das „0te Leitideal von ä.“ Unter dem
,rten Leit ideal ar von ä verstehen wir das 0te Leitideal von ä : (x)r. Ist ä
genau durch (xp teilbar, so ist = ax = ...= aOT_ i = (0); Cim I (ö)-
ar+1 ist Teiler von az, und es wird daher von einem gewissen n an: an -
aM-i-! = + 2 = ; n heißt der „Index“ von ä. — Eine triviale,
grundsätzlich bei Sch. § 2 zu findende Rechnung zeigt:
Bedeutet n den Index von ä, und sind die Potenzreihen Pik
(i = 1, 2; 1c = 0,1, w) so bestimmt, daß die Anfangsglieder von P\k
und P2k eine Basis des Uen Leitideals aÄ bilden, so ist ä = (P10, P2v
P1V P2V . . . Pln, P2n). - Wir haben also:
Satz 1. Jedes Ideal aus bzw. besitzt eine end-
licheBasis. Ist bj>ä, und stimmen die entsprechen-
den Leitideale von a und 6 jeweils überein, so ist ä = b-
Ein Ideal heißt regulär1), wenn seine von (0) verschiedenen
Leitideale sämtlich gleich sind. Offenbar ist jedes Hauptideal regulär.
Aus Satz 1 und der Tatsache, daß 9tv ein Hauptidealring ist, folgt
weiter, daß in (aber i. a. nicht in 5ß!) auch die Umkehrung gilt:
In sind die Hauptideale die einzigen regulären
Ideale.
Wir wenden uns nunmehr zur Herstellung des Zusammenhangs
zwischen und 5pp.
Hilfssatz 1. Es seien P = Pp ixi und Q — Pq^x'1 zwei bei.
Potenzreihen aus bzw. t 0, <5 sei ein volles
Restsystem von 3 t bzw. Di? nach dem Ideal (Po)- Dann
kann man eine Einheitspotenzreihe E=Peixi so be-
stimmen, daß bei 7t = P-E-\- Q = Prixi die Koeffi-
zienten n, r2, .... sämtlich zu <5 gehören, und r0 ein
der Gleichung (r0 — = (p0) genügendes, sonst be-
liebig vor geschriebenes Element ist.
Beweis durch sukzessive Berechnung von eo ; ei, n; 62, r-2 usw.
Vgl. die Rechnung bei Sch. § 2.
Hilfssatz 2. 2) Eine Potenzreihe P aus mit von 0 ver-
schiedenem Anfangsglied p0 kann durch Multipli-
*) Das Wort „regulär“ wird hier nicht genau im selben Sinne gebraucht
wie in Sch., wo von vornherein nur Ideale mit von (0) verschiedenem nulltem
Leitideal in Betracht gezogen werden.
2) Die Hilfssätze 2 und 3 bilden (zusammen mit dem auf sie gestützten
Äquivalenzsatz 2) den Kern unsres Beweises. Sie werden durch die allgemeinen
ment aus bzw. ist ersichtlich dann und nur dann
Einheit, wenn sein Anfangsglied Einheit in Di bzw. Dtp
ist. Die Gesamtheit der Anfangsglieder sämtlicher Potenzreihen eines
Ideals ä bildet ein Ideal aa, das „0te Leitideal von ä.“ Unter dem
,rten Leit ideal ar von ä verstehen wir das 0te Leitideal von ä : (x)r. Ist ä
genau durch (xp teilbar, so ist = ax = ...= aOT_ i = (0); Cim I (ö)-
ar+1 ist Teiler von az, und es wird daher von einem gewissen n an: an -
aM-i-! = + 2 = ; n heißt der „Index“ von ä. — Eine triviale,
grundsätzlich bei Sch. § 2 zu findende Rechnung zeigt:
Bedeutet n den Index von ä, und sind die Potenzreihen Pik
(i = 1, 2; 1c = 0,1, w) so bestimmt, daß die Anfangsglieder von P\k
und P2k eine Basis des Uen Leitideals aÄ bilden, so ist ä = (P10, P2v
P1V P2V . . . Pln, P2n). - Wir haben also:
Satz 1. Jedes Ideal aus bzw. besitzt eine end-
licheBasis. Ist bj>ä, und stimmen die entsprechen-
den Leitideale von a und 6 jeweils überein, so ist ä = b-
Ein Ideal heißt regulär1), wenn seine von (0) verschiedenen
Leitideale sämtlich gleich sind. Offenbar ist jedes Hauptideal regulär.
Aus Satz 1 und der Tatsache, daß 9tv ein Hauptidealring ist, folgt
weiter, daß in (aber i. a. nicht in 5ß!) auch die Umkehrung gilt:
In sind die Hauptideale die einzigen regulären
Ideale.
Wir wenden uns nunmehr zur Herstellung des Zusammenhangs
zwischen und 5pp.
Hilfssatz 1. Es seien P = Pp ixi und Q — Pq^x'1 zwei bei.
Potenzreihen aus bzw. t 0, <5 sei ein volles
Restsystem von 3 t bzw. Di? nach dem Ideal (Po)- Dann
kann man eine Einheitspotenzreihe E=Peixi so be-
stimmen, daß bei 7t = P-E-\- Q = Prixi die Koeffi-
zienten n, r2, .... sämtlich zu <5 gehören, und r0 ein
der Gleichung (r0 — = (p0) genügendes, sonst be-
liebig vor geschriebenes Element ist.
Beweis durch sukzessive Berechnung von eo ; ei, n; 62, r-2 usw.
Vgl. die Rechnung bei Sch. § 2.
Hilfssatz 2. 2) Eine Potenzreihe P aus mit von 0 ver-
schiedenem Anfangsglied p0 kann durch Multipli-
*) Das Wort „regulär“ wird hier nicht genau im selben Sinne gebraucht
wie in Sch., wo von vornherein nur Ideale mit von (0) verschiedenem nulltem
Leitideal in Betracht gezogen werden.
2) Die Hilfssätze 2 und 3 bilden (zusammen mit dem auf sie gestützten
Äquivalenzsatz 2) den Kern unsres Beweises. Sie werden durch die allgemeinen