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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0100
100
Friedrich Karl Schmidt:
Elemente von St und St’ so aufeinander, wie es die Abbildung angibt,
und ordnet außerdem /z irgendeine Wurzel von f (x) = 0 zu, so hat
man damit ersichtlich eine isomorphe Abbildung von St (//,), die ein
Vielfaches von 99 darstellt. Da umgekehrt bei jeder Abbildung von
St (/i), die ein Multiplum von 99 ist, notwendig eine Wurzel von
f (x) = 0 entsprechen muß, so ist die Anzahl der verschiedenen Mul-
tipla von 99 gleich der Anzahl der verschiedenen Wurzeln von f (x) = 0.* 2)
Damit ist unser Satz bewiesen, wenn man bedenkt, daß die Gleichungen
f (x) = 0 und f (x) = 0 vom selben Grad sind und gleichzeitig lauter
verschiedene Wurzeln bzw. nur eine mehrfach zu rechnende Nullstelle
haben.
Fundamentallemma: Ist 3k ein endlicher Oberkörper
von St vom reduzierten Grade m0, 99 eine isomorphe Abbil-
dung von St auf so gibt es stets genau m0 isomorphe
Abbildungen des Gesamtkörpers 3k, die Vielfache von 99
sind und 3k auf untereinander über St konjugierte Körper beziehen.2)
Beweis: Da 3k über $ endlich ist, gilt dasselbe für 3k0 über St und
für 3k über 3k0. Man kann also den Körper 3k erzeugen, indem man
zunächst den Körper St durch Adjunktion endlich vieler Elemente
u15 t/2, ■ ■/tj zu 3k0, dann 3k0 durch endlich viele Elemente /zj + 1, ...,
/zk zu 3k erweitert. Ist der Grad von pii in bezug auf den Körper
Stj = St (//1? /z2, . . . . 1)’ s0 = m1m2 . . . Indem man den
Hilfssatz der Reihe nach auf die Körper S^ = St, St2 = (/h) . . . -
Stk_! (/zk_1), 3k = Äk (//k) anwendet, erhält man die Behauptung.
Als unmittelbare Folge aus dem Fundamentallemma und seinem
Beweis haben wir
Satz 1: Die sämtlichen Transmutationen von 3k über
St werden durch die Transmutationen von 3k0 über St ge-
geben. Die Anzahl der verschiedenen Transmutationen
von 3k über $ ist gleich dem reduzierten Grad m0 von
3k über St.3)
Da die Transmutationen von 3k gerade die der identischen Abbil-
dung von 3k links zugehörigen Elemente des Gruppoids F bilden, ist
die Zahl der irgendeiner Einheit von F links (bzw. rechts) zugehörigen
Elemente somit gleich m0.
*) Da die Bildkörper über St untereinander konjugiert sein wollen, sind
die Wurzeln von f (x) = 0 einer festen Erweiterung von St zu entnehmen, über
der f (x) in Linearfaktoren zerfällt.
2) Vgl. R. Dedekind, a. a. 0. S. 475.
3) Vgl. A. Loewy, Heidelb. Sitzungsber. 1925, Abb. 7, S. 11 Satz 2.
Friedrich Karl Schmidt:
Elemente von St und St’ so aufeinander, wie es die Abbildung angibt,
und ordnet außerdem /z irgendeine Wurzel von f (x) = 0 zu, so hat
man damit ersichtlich eine isomorphe Abbildung von St (//,), die ein
Vielfaches von 99 darstellt. Da umgekehrt bei jeder Abbildung von
St (/i), die ein Multiplum von 99 ist, notwendig eine Wurzel von
f (x) = 0 entsprechen muß, so ist die Anzahl der verschiedenen Mul-
tipla von 99 gleich der Anzahl der verschiedenen Wurzeln von f (x) = 0.* 2)
Damit ist unser Satz bewiesen, wenn man bedenkt, daß die Gleichungen
f (x) = 0 und f (x) = 0 vom selben Grad sind und gleichzeitig lauter
verschiedene Wurzeln bzw. nur eine mehrfach zu rechnende Nullstelle
haben.
Fundamentallemma: Ist 3k ein endlicher Oberkörper
von St vom reduzierten Grade m0, 99 eine isomorphe Abbil-
dung von St auf so gibt es stets genau m0 isomorphe
Abbildungen des Gesamtkörpers 3k, die Vielfache von 99
sind und 3k auf untereinander über St konjugierte Körper beziehen.2)
Beweis: Da 3k über $ endlich ist, gilt dasselbe für 3k0 über St und
für 3k über 3k0. Man kann also den Körper 3k erzeugen, indem man
zunächst den Körper St durch Adjunktion endlich vieler Elemente
u15 t/2, ■ ■/tj zu 3k0, dann 3k0 durch endlich viele Elemente /zj + 1, ...,
/zk zu 3k erweitert. Ist der Grad von pii in bezug auf den Körper
Stj = St (//1? /z2, . . . . 1)’ s0 = m1m2 . . . Indem man den
Hilfssatz der Reihe nach auf die Körper S^ = St, St2 = (/h) . . . -
Stk_! (/zk_1), 3k = Äk (//k) anwendet, erhält man die Behauptung.
Als unmittelbare Folge aus dem Fundamentallemma und seinem
Beweis haben wir
Satz 1: Die sämtlichen Transmutationen von 3k über
St werden durch die Transmutationen von 3k0 über St ge-
geben. Die Anzahl der verschiedenen Transmutationen
von 3k über $ ist gleich dem reduzierten Grad m0 von
3k über St.3)
Da die Transmutationen von 3k gerade die der identischen Abbil-
dung von 3k links zugehörigen Elemente des Gruppoids F bilden, ist
die Zahl der irgendeiner Einheit von F links (bzw. rechts) zugehörigen
Elemente somit gleich m0.
*) Da die Bildkörper über St untereinander konjugiert sein wollen, sind
die Wurzeln von f (x) = 0 einer festen Erweiterung von St zu entnehmen, über
der f (x) in Linearfaktoren zerfällt.
2) Vgl. R. Dedekind, a. a. 0. S. 475.
3) Vgl. A. Loewy, Heidelb. Sitzungsber. 1925, Abb. 7, S. 11 Satz 2.