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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0031
U6er räumliche Affinzykloiden.
Von
Gerhard Kowalewski in Dresden.
Um zu sehen, wie die Affingruppe
(1)
X = •x + ö1z/ + ciZ-Wi,
t) = tz2 x —b.> y —j- c2 z —j- d2,
3 — a3 x b3 y c3 z d3
auf ein Kurvenelement vierter Ordnung
(« b c) = 1
x,y,z,y3,zr,y.,,z2,y3,z3, yA, z,
einwirkt, setze man
« = «i +y\ -^c.z,,
i) = a2 —|- b.> yr —p c2 zx,
w = Ci3 4- b3 y, + c3 zr
und leite aus
(2) i)1u = v, lxu = w
durch fortgesetzte Differentiation nach x folgende Gleichungen ab,
rfr
wobei die Beziehung = u benutzt wird:
V2ü2 + 9i«i=4fi>
32 u' 4“ 3i wi — wi >
^3zz3+3b2 w«i4-hi«2 = y-2>
33w3 + 3 ^,1111^ 31 u2 = w2,
t)! td + 6 h3 u2 zzt + h2 (3 «i2 + 411 ll-5 + hi «3 = ü3 >
3.i zz1 -j- 6 33 zz - zzi -p 3-2 (3 Mi; 4 u lli) 4" 3i lh — w3 •
Es folgt dann sofort
zz u w
ZZj ZZj iol
u2 v2 iu2
= wc(h2 33 —3-2 h3)-
Andererseits hat diese Determinante den Wert
(a b c) (z/2z3 —z2z/3).
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Von
Gerhard Kowalewski in Dresden.
Um zu sehen, wie die Affingruppe
(1)
X = •x + ö1z/ + ciZ-Wi,
t) = tz2 x —b.> y —j- c2 z —j- d2,
3 — a3 x b3 y c3 z d3
auf ein Kurvenelement vierter Ordnung
(« b c) = 1
x,y,z,y3,zr,y.,,z2,y3,z3, yA, z,
einwirkt, setze man
« = «i +y\ -^c.z,,
i) = a2 —|- b.> yr —p c2 zx,
w = Ci3 4- b3 y, + c3 zr
und leite aus
(2) i)1u = v, lxu = w
durch fortgesetzte Differentiation nach x folgende Gleichungen ab,
rfr
wobei die Beziehung = u benutzt wird:
V2ü2 + 9i«i=4fi>
32 u' 4“ 3i wi — wi >
^3zz3+3b2 w«i4-hi«2 = y-2>
33w3 + 3 ^,1111^ 31 u2 = w2,
t)! td + 6 h3 u2 zzt + h2 (3 «i2 + 411 ll-5 + hi «3 = ü3 >
3.i zz1 -j- 6 33 zz - zzi -p 3-2 (3 Mi; 4 u lli) 4" 3i lh — w3 •
Es folgt dann sofort
zz u w
ZZj ZZj iol
u2 v2 iu2
= wc(h2 33 —3-2 h3)-
Andererseits hat diese Determinante den Wert
(a b c) (z/2z3 —z2z/3).
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