Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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gleichung mittels des Liebmannschen Verfahrens

Die Differenzengleichung
(2) 4zz(x,z/) + 2(x,z/)zz(x,z/) = 0
(h)
besagt also, daß

(3) [4 —7z‘U(x, z/)J u (x,y) = L [u(x,y)],
oder falls, was wir stets voraussetzen wollen, 4 —/z-2(x, zy)^LO
ist, daß

zz (x, zy)
(4)

1
4 —/z22(x,z/)

L [zz (x, z/)]

1
4 — /z22(x,z/)

[u(x-\-h,y)+u(x,y+h)-}-u(x—h,y)-\-u(x, y—h)]

sein soll. Wenn 2(x, z/) = 0 ist, kommt hierin die bekannte Eigen-
schaft harmonischer Gitterfunktionen zum Ausdruck, daß ihr Wert
in jedem Gitterpunkt gleich dem arithmetischen Mittel ihrer Werte
in den vier Nachbarpunkten ist.
Wir behandeln die folgende
Randwertaufgabe: Gesucht ist eine Gitterfunktion u(x,y\ die
in einem vorgeschriebenen Gitterbereich 55*, in welchem
4 — h'12 (x, y) 0
ist, die Gleichung (2) befriedigt und auf seinem Rand ER* vor-
geschriebene Werte u*(x,y) annimmt.
2. Ist 55* beschränkt und dort 2(x,z/)<10, so hat diese Rand-
wertaufgabe höchstens eine Lösung. Denn seien zzx(x,z/) und
zz.2(x,z/) zwei solche Lösungen, so ist die Differenz

zz (x, zy) = zzt (x, z/) — u.2 (x, zy)
ebenfalls eine Lösung von (2), aber mit den Randwerten 0. Sei nun
Max | zz (x, zy) | = 4/ > 0
53*
und (£,-y) ein Gitterpunkt von 55*, in welchem |zzQ, y)|
in jedem Nachbarpunkt muß dann auch \u (x, y) | = M sein, da
anderenfalls nach (1) und (4)

M=|ute. >01 £ 0|]<~4M=iW
wäre. D. h. aber, daß in allen anderen Punkten von 55*-j~ER*
ebenfalls | zz (x,z/)| = M sein müßte, im Widerspruch zu der Tat-
sache, daß die Randwerte von zz(x,z/) alle gleich Null sind. Da-
her muß zz(x,z/) = O sein in 55*-1- ER*.

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