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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0004
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Reinhold Baer:
Haupthilfsmittel bei unserer Untersuchung wird uns eine — vom
Begriff der Ordnung übrigens unabhängige — Theorie der Wachs-
tumsordnung sein, die im §2 entwickelt wird und den algebraischen
Kern dessen gibt, was in der Funktionentheorie unter diesem Namen
auf tritt.1)
Schließlich entwickeln wir im § 1 die hier benötigten Begriffe
und Tatsachen aus der Theorie der geordneten Körper; der Einfachheit
halber sind die Beweise mit entwickelt, insbesondere da sie sich in
etwas von denen bei A.-S. unterscheiden.
§ 1. Grundbegriffe und Tatsachen aus der Theorie der geordneten Körper.
Sei A ein algebraisch abgeschlossener Körper der Cha-
rakteristik 0; wir betrachten im folgenden nur Unterkörper von A.
Sei K ein Unterkörper von A; ein Elementesystem H(^A') = II aus K
heißt ein Positivbereich2) von K, wenn die folgenden Postulate
erfüllt sind:
I. 0 ist nicht Element von II,
II. ist a ± 0 Element von K, so gehört von den Elementen a und
— a wenigstens eines II an,
III. mit a und b gehören auch a-\-b und a-b zu II.
Hieraus folgt leicht:
Ha. von den Elementen a und —a gehört höchstens eines II an,
IIIa. mit a und b gehört auch zu II.
Wir nennen Körper, in denen sich solche Positivbereiche angeben
lassen, ordnungsfähig bzw. durch den Positivbereich geordnet,
da sich in ihnen folgende Ordnung einführen läßt:
O. dann und nur dann ist a <C b, wenn b — a in EL enthalten ist.
Man sieht, daß die üblichen Ordnungspostulate erfüllt sind.3)
Weiter gilt:
’) cf. Borel: Theorie de la croissance; Hardy: Order of infinity.
2) cf. A.-S. p. 86.
3) Es gilt nämlich:
Oi. Ist a 4 b, so ist entweder a<^b oder denn wegen I, II und Ila
ist entweder b — a oder a—b in 77 enthalten.
02. Wenn a<b und ö <A ist, so ist a<c. Denn es ist wegen III mit
b — a und c — b auch (c — b) 4- (ö — a) = c — a in 77 enthalten.
O3. Wenn a <4 b und c < 7 ist, so ist auch a-|-c •< ö + 7. Wegen III ist
nämlich mit b — a sicher auch: (h — a) + (7 — c) = (b -f- 7) — (a -f- c) in 77 ent-
halten.
O4. Ist a <4 b und c 0, so ist auch: ac <^bc. Denn es ist bc — ac —
c(b — a) wegen III zugleich mit b — a und c in 77 enthalten.
Reinhold Baer:
Haupthilfsmittel bei unserer Untersuchung wird uns eine — vom
Begriff der Ordnung übrigens unabhängige — Theorie der Wachs-
tumsordnung sein, die im §2 entwickelt wird und den algebraischen
Kern dessen gibt, was in der Funktionentheorie unter diesem Namen
auf tritt.1)
Schließlich entwickeln wir im § 1 die hier benötigten Begriffe
und Tatsachen aus der Theorie der geordneten Körper; der Einfachheit
halber sind die Beweise mit entwickelt, insbesondere da sie sich in
etwas von denen bei A.-S. unterscheiden.
§ 1. Grundbegriffe und Tatsachen aus der Theorie der geordneten Körper.
Sei A ein algebraisch abgeschlossener Körper der Cha-
rakteristik 0; wir betrachten im folgenden nur Unterkörper von A.
Sei K ein Unterkörper von A; ein Elementesystem H(^A') = II aus K
heißt ein Positivbereich2) von K, wenn die folgenden Postulate
erfüllt sind:
I. 0 ist nicht Element von II,
II. ist a ± 0 Element von K, so gehört von den Elementen a und
— a wenigstens eines II an,
III. mit a und b gehören auch a-\-b und a-b zu II.
Hieraus folgt leicht:
Ha. von den Elementen a und —a gehört höchstens eines II an,
IIIa. mit a und b gehört auch zu II.
Wir nennen Körper, in denen sich solche Positivbereiche angeben
lassen, ordnungsfähig bzw. durch den Positivbereich geordnet,
da sich in ihnen folgende Ordnung einführen läßt:
O. dann und nur dann ist a <C b, wenn b — a in EL enthalten ist.
Man sieht, daß die üblichen Ordnungspostulate erfüllt sind.3)
Weiter gilt:
’) cf. Borel: Theorie de la croissance; Hardy: Order of infinity.
2) cf. A.-S. p. 86.
3) Es gilt nämlich:
Oi. Ist a 4 b, so ist entweder a<^b oder denn wegen I, II und Ila
ist entweder b — a oder a—b in 77 enthalten.
02. Wenn a<b und ö <A ist, so ist a<c. Denn es ist wegen III mit
b — a und c — b auch (c — b) 4- (ö — a) = c — a in 77 enthalten.
O3. Wenn a <4 b und c < 7 ist, so ist auch a-|-c •< ö + 7. Wegen III ist
nämlich mit b — a sicher auch: (h — a) + (7 — c) = (b -f- 7) — (a -f- c) in 77 ent-
halten.
O4. Ist a <4 b und c 0, so ist auch: ac <^bc. Denn es ist bc — ac —
c(b — a) wegen III zugleich mit b — a und c in 77 enthalten.