Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

sprach mit (F), das in K erfüllt sein sollte, wenn nicht alle
aj — bj = 0 sind.
Zum Beweise unseres Satzes konstruieren wir jetzt eine Kette von
Körpern Kv:
1. K± = K,
2. sei v keine Limeszahl und Kv_± bereits konstruiert und erfülle
die Bedingung (F); sei al,_1 das in einer bestimmten Wohlord-
nung von Ä erste Element aus Kv_x derart, daß weder av_x
noch — av_1 in F (Wv_1) enthalten ist; genüge bv_1 der
Gl. bzv_L — = 0. (Da A algebraisch abgeschlossen ist, gibt
es solche Elemente in A, wegen der Wahl von aber nicht
in Kv_f)', dann sei: Kv = Kv_1(fbv_ß).
3. sei v Limeszahl und alle K.. mit zz <T v konstruiert: dann sei
Kr die Vereinigungsmenge aller K^ mit p<^v,
4. Ko — Ko für das erste o derart, daß 2. nicht mehr anwendbar ist.
Es gilt dann:
(a) jedes ist in allen Kv mit v (> p enthalten,
(b) alle Kv sind Körper
(c) alle Kv erfüllen (F).
Denn Kr tut dies nach Voraussetzung; also muß es ein erstes q
derart geben, daß (F) in Ko nicht gilt; o kann nicht Limeszahl sein,
da sonst ein K^ mit /z <( o (F) widerspräche; ist dies aber der Fall,
so sind bei Schritt 2 alle Voraussetzungen des H.-S. erfüllt; also gilt
(F) doch in KQ.
(d) F(FÖ) erfüllt I-III.
und zwar I wegen (c), II wegen 4. und III wie alle 2.
Zusatz 1: Dann und nur dann ist ein Körper ordnungsfähig, wenn er
(F) er füllt A)
Dies folgt aus Satz 2, IV und Satz 1,2.
Zusatz 2: Ein geordneter Körper K ist Teilkörper eines solchen nur
auf eine Weise ordnungsfähigen Körpers Ko, daß die Ordnung von
K mit der K von Ko gemäß IV auf geprägten übereinstimmt.2)
Hierzu hat man beim Beweise B des Satzes 2 die Wohlordnung
von A nur so zu wählen, daß die Elemente von 77 (K) allen andern
vorausgehen.
Zusatz 3: K (K) ist der Durchschnitt aller möglichen D (K);
insbesondere ist also K dann und nur dann einer einzigen Ordnung
fähig, wenn E (TT) auch I und II er füllt.3)
b cf. A.-S. Satz 7 b p. 91. 2) cf. A.-S. Satz 8 p. 92.
3) cf E. Artin: Über die Zerlegung . . . Hamb. Abh. Bd.V Satz 1 p. 103.