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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0009
Über nicht-Archimedisch geordnete Körper. 9
Man sieht ohne Schwierigkeit, daß die üblichen Ordnungs- und Gleich-
heitspostulate erfüllt sind. Weiter folgt:
R3. Ist 7?(ö) <( R(a), so ist R(aIty = R(a).
Denn es ist = 14- wegen R> ist bla Element von N, also
a a
1 -f- bja wegen Nx weder Element von N noch von 1/N.
R4. Ist R(b) = R<aj so ist +6.) < R(«) = R(6).
Denn es ist -- = 14- — wegen R. und N, sicher nicht Element
a a
von 1/2V.
R5. Ist R(af) = RfhJ und R(af) = R(62), so ist R(a1 • a2) = R(bx • &2).
Es ist = ^2 wegen J? und g weder in N noch UN ent-
6i -b2 \ b2
halten. Ebenso sieht man:
R6. Ist R(af) < R(bf) und R^a^ < Rfbfj, so ist R(at ■ n2) < R(jb1 ■ &3).
Aus R5 und R6 folgt die Berechtigung der folgenden Festsetzungen:
RÄ. Dann und nur dann ist R(a) = 0, wenn a weder in N noch in
1/fV enthalten ist; R(a • 6) = R(a) + R(b~), R( ~ R(a) — R(b").
Schließlich gilt noch:
R7. Ist K geordnet und jedes Element von N absolut kleiner als 1,
so folgt aus R(af) <f R(a2), daß \a1 <f\ a2 \ ist.
Es ist ja aja2 in N enthalten.
§ 3. Ordnung des Körpers auf Grund seiner Ordnung im großen.
Der Körper JE. heiße nach der Null klasse N ordnungs-
fähig bzw. geordnet, wenn der Restklassenkörper K\N im ge-
wöhnlichen Sinne (cf. § 11) ordnungsfähig bzw. geordnet ist. Es ist
dies eine Ordnung im großen; zwar stehen die Elemente einer Klasse
untereinander nicht in Ordnungsbeziehung, aber die Elemente ver-
schiedener Klassen in der durch die Ordnung der Klassen bestimmten
Ordnungsbeziehung.
Satz 3: Dann und nur dann ist K nach N ordnungsfähig, wenn eine
Quadratsumme nur gleichzeitig mit ihren Summanden einen Wert
aus N hat.
Der Beweis, folgt aus dem Zusatz 1 des Satzes 2.
V
A. Sei A’cty2 = n (1), wo n Element aus N ist. Wir können an-
7 = 1
nehmen, daß keines'von den Elementen co zu l/W gehört; wäre näm-
lich Rfaf) E R(af) > . .. > R(ap) und R(af) > 0, so wäre
Man sieht ohne Schwierigkeit, daß die üblichen Ordnungs- und Gleich-
heitspostulate erfüllt sind. Weiter folgt:
R3. Ist 7?(ö) <( R(a), so ist R(aIty = R(a).
Denn es ist = 14- wegen R> ist bla Element von N, also
a a
1 -f- bja wegen Nx weder Element von N noch von 1/N.
R4. Ist R(b) = R<aj so ist +6.) < R(«) = R(6).
Denn es ist -- = 14- — wegen R. und N, sicher nicht Element
a a
von 1/2V.
R5. Ist R(af) = RfhJ und R(af) = R(62), so ist R(a1 • a2) = R(bx • &2).
Es ist = ^2 wegen J? und g weder in N noch UN ent-
6i -b2 \ b2
halten. Ebenso sieht man:
R6. Ist R(af) < R(bf) und R^a^ < Rfbfj, so ist R(at ■ n2) < R(jb1 ■ &3).
Aus R5 und R6 folgt die Berechtigung der folgenden Festsetzungen:
RÄ. Dann und nur dann ist R(a) = 0, wenn a weder in N noch in
1/fV enthalten ist; R(a • 6) = R(a) + R(b~), R( ~ R(a) — R(b").
Schließlich gilt noch:
R7. Ist K geordnet und jedes Element von N absolut kleiner als 1,
so folgt aus R(af) <f R(a2), daß \a1 <f\ a2 \ ist.
Es ist ja aja2 in N enthalten.
§ 3. Ordnung des Körpers auf Grund seiner Ordnung im großen.
Der Körper JE. heiße nach der Null klasse N ordnungs-
fähig bzw. geordnet, wenn der Restklassenkörper K\N im ge-
wöhnlichen Sinne (cf. § 11) ordnungsfähig bzw. geordnet ist. Es ist
dies eine Ordnung im großen; zwar stehen die Elemente einer Klasse
untereinander nicht in Ordnungsbeziehung, aber die Elemente ver-
schiedener Klassen in der durch die Ordnung der Klassen bestimmten
Ordnungsbeziehung.
Satz 3: Dann und nur dann ist K nach N ordnungsfähig, wenn eine
Quadratsumme nur gleichzeitig mit ihren Summanden einen Wert
aus N hat.
Der Beweis, folgt aus dem Zusatz 1 des Satzes 2.
V
A. Sei A’cty2 = n (1), wo n Element aus N ist. Wir können an-
7 = 1
nehmen, daß keines'von den Elementen co zu l/W gehört; wäre näm-
lich Rfaf) E R(af) > . .. > R(ap) und R(af) > 0, so wäre