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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0011
Über nicht-Archimedisch geordnete Körper.
11
Wir zeigen:
(a) n0=II enthält mit a und b auch a-fb, ab, afb.
Dies ist bei allen 77r erfüllt; für nQ,IIx folgt (a) aus ihrer Definition; sei
also Ilg das erste, wo es nicht wahr ist; dann kann q nicht Limeszahl
sein, da (a) sonst schon für ein IIV mit v < g nicht wahr wäre; ist
aber in die Eigenschaft (a) erfüllt, so auch wegen 3. in 17°.
(b) Kein 77v enthält die 0; also auch 77 nicht.
Dies gilt für 770 wegen Satz 4, i, für T71 deshalb, weil die Elemente von
770 entweder in N, 1|N oder in positiven Klassen gelegen sind, beim
Schritte 2 aber nur Elemente aus positiven Klassen adjungiert werden.
Sei also 77,9 das erste 0 enthaltende; dann kann q keine Limes-
zahl sein, da sonst ein 77v mit v <f Q bereits die Null enthalten müßte.
Sei also a -j-a°b = 0, wo a, b Elemente aus 77Q_r sind; wir
brauchen nur ganze lineare Funktionen von zu berücksichtigen,
da öp2 bereits in 770 enthalten ist; dann wäre aber ct^ = — a\b im
Widerspruch mit 3.
(c) Ist a 4 0, so ist entweder a oder —- a in 77 enthalten,
da sonst 3. noch anwendbar wäre.
(d) Die durch 77 bestimmte Ordnung von K stimmt mit der von
K[N überein.
Dies folgt aus Schritt 2.
Zusatz: Dann und mir dann ist K ordnungsfähig, wenn K nach einer
Nullklasse N ordnungsfähig ist.
Denn 0 allein bildet eine Nullklasse.
§4. Die in einem Körper möglichen mit ihm übereinstimmenden
„Ordnungen im großen".
■Satz 5: Sei K geordnet und No das System der hinsichtlich des Prim-
körpers Po von K unendlich kleinen Elemente von K; weiter sei N
irgendeine NuUklasse von K.
Dann und nur dann kann K/N mit K übereinstimmend geordnet
werden, wenn
1. N in Nq enthalten ist und
2. der Rang — hinsichtlich No definiert — der Elemente von N
kleiner ist als der Rang der Elemente von K, die nicht in N
enthalten sind.
A. Gesetzt, es gebe eine Ordnung von KfN, die mit der von K
übereinstimmt; dann enthalten also die positiven Klassen von K\N
nur positive Elemente aus JK.
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Wir zeigen:
(a) n0=II enthält mit a und b auch a-fb, ab, afb.
Dies ist bei allen 77r erfüllt; für nQ,IIx folgt (a) aus ihrer Definition; sei
also Ilg das erste, wo es nicht wahr ist; dann kann q nicht Limeszahl
sein, da (a) sonst schon für ein IIV mit v < g nicht wahr wäre; ist
aber in die Eigenschaft (a) erfüllt, so auch wegen 3. in 17°.
(b) Kein 77v enthält die 0; also auch 77 nicht.
Dies gilt für 770 wegen Satz 4, i, für T71 deshalb, weil die Elemente von
770 entweder in N, 1|N oder in positiven Klassen gelegen sind, beim
Schritte 2 aber nur Elemente aus positiven Klassen adjungiert werden.
Sei also 77,9 das erste 0 enthaltende; dann kann q keine Limes-
zahl sein, da sonst ein 77v mit v <f Q bereits die Null enthalten müßte.
Sei also a -j-a°b = 0, wo a, b Elemente aus 77Q_r sind; wir
brauchen nur ganze lineare Funktionen von zu berücksichtigen,
da öp2 bereits in 770 enthalten ist; dann wäre aber ct^ = — a\b im
Widerspruch mit 3.
(c) Ist a 4 0, so ist entweder a oder —- a in 77 enthalten,
da sonst 3. noch anwendbar wäre.
(d) Die durch 77 bestimmte Ordnung von K stimmt mit der von
K[N überein.
Dies folgt aus Schritt 2.
Zusatz: Dann und mir dann ist K ordnungsfähig, wenn K nach einer
Nullklasse N ordnungsfähig ist.
Denn 0 allein bildet eine Nullklasse.
§4. Die in einem Körper möglichen mit ihm übereinstimmenden
„Ordnungen im großen".
■Satz 5: Sei K geordnet und No das System der hinsichtlich des Prim-
körpers Po von K unendlich kleinen Elemente von K; weiter sei N
irgendeine NuUklasse von K.
Dann und nur dann kann K/N mit K übereinstimmend geordnet
werden, wenn
1. N in Nq enthalten ist und
2. der Rang — hinsichtlich No definiert — der Elemente von N
kleiner ist als der Rang der Elemente von K, die nicht in N
enthalten sind.
A. Gesetzt, es gebe eine Ordnung von KfN, die mit der von K
übereinstimmt; dann enthalten also die positiven Klassen von K\N
nur positive Elemente aus JK.