Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer,

eine Gl. vom niederen als g-ten Grade für s gäbe; ist aber s' = 0, so
folgt aus I., daß s zu K gehört.
Daß 3. erfüllt ist, folgt schließlich aus II, III.
B. Seien in A ff die Bedingungen 1. 2. 3. erfüllt; wir haben
zu zeigen, daß dann auch I. erfüllt ist, um nachzuweisen, daß A ftf ein
A umfassender DK ist. Es gilt:
(a) ist s' = 0, so ist s algebraisch in Hinsicht auf K, also
wegen 2. Element von K.
Da t in Hinsicht auf A algebraisch ist, so ist es auch jedes s
aus sei
m
(4) 2 si = °>
i=0
wo bm = 1, bi Element aus A und m < n ist, die Gl. niedersten Grades
in A, der s genügt.
Zunächst muß die Ableitung der linken Seite von (4) auch ver-
schwinden; ersetzt man nämlich in (4) s durch seinen Ausdruck in t,
entwickelt nach Potenzen von t und reduziert nach Gl. (1), so ergibt
sich, daß die linke Seite von (4) = 0 ist; andererseits wird bei dieser
Reduktion nach (1) der Wert der Ableitung von (4) nicht geändert,
da f nach 1. gewählt ist.
Ist etwa s'= 0, so folgt also durch Ableitung von (4):
m — 1
2v s‘ = °>
i = 0
da die Ableitung von Eins wegen I. = 0 ist; mithin müssen alle bf = 0
sein, da (4) die Gl. niedersten Grades für s ist, d. h. bi ist Element
von K. Speziell folgt aus unserm Satz:
Zusatz I: Alle in Hinsicht auf den CK algebraischen Elemente eines
DK gehören dem CK an.
Zusatz 2: Die Ableitung eines in Hinsicht auf einen DK algebrai-
schen Elements kann auf eine und nur auf eine Weise
festgelegt werden, soll der Erweiterungskörper wieder ein
DK sein.
Satz 2: Sei A ein DK, K sein CK und t ein in Hinsicht auf A
cjuasitranszendentes Element.

1) cf. Steinitz, l. c. p. 198 Satz 3.