Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

z{t} N(ty - zttyNity = o, a. h.
m 1 ( n n
2aiti\ ! 2
1 — 0 J U = 0 i — 1
m m 1 I n \
2 <^'+^2 ] 2biti f= °;
i—O i = l J li = 0 J

da n. V. t' von t frei ist, so folgt wegen der Transzendenz von
daß cimb^— bnam' = 0 = am' wegen bn = 1 ist, d. h. auch am ist Ele-
ment von K.

O. B. d. A. können wir auch am — 1 annehmen, da am f 0 und
mit s' = 0 auch I—) =0 ist, da am Element von K ist. Dann ist:
{&\-i + t' (n - 1)} — { a'm_r + f (m - 1) } = 0, d. h.
n-1 ® m-i /^i—i Ctm_i \
m — n \ m — n )
für m f n im Widerspruch mit 1. wegen II a und IV.
Ist aber m — n, so gilt neben s' = 0 auch


wo wegen an—bn = 1 der Zähler von niederem Grade als der Nenner
ist, also die obige Beweisführung anwendbar ist, wenn nicht ai = bi
für alle i = 0,..., n ist.

Satz 3: Sei A ein DK, K sein CK und t ein Element derart, daß
es nicht in A einer Gl. niederen Grades als der Gl. niedersten
Grades in E genügt; setzt man t' = 0 fest und befolgt II, IIa, III,
lila, so ist A(t) ein DK mit K(f) als CK.1)
Sei n der Grad der Gl. niedrigsten Grades, der t in K genügt
m
(ev. n = oo); ist n endlich, so sei s ~2 ai m <C n und aus A —
i=0
ein Element aus A{f) derart, daß s' = 0 ist; dann ist wegen f = 0 auch:
s' = 2 ai l’ — 0; also ist wegen m n n.V. af = 0 für alle i, d. h.
i— 0
Element von K und also s Element von K (tf

T) Insbesondere sind diese Voraussetzungen erfüllt, wenn t in Hinsicht auf
A transzendent (im üblichen Sinne), also nicht nur quasitranszendent ist.